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第1章 数学基础知识1

1.1 集合与数1

1.1.1 集合及其运算1

1.1.2 数集2

1.1.3 数的误差3

1.2 点与向量4

1.2.1 向量的概念4

1.2.2 向量运算5

1.2.3 坐标系8

1.2.4 向量的坐标表示9

1.2.5 向量的坐标运算9

习题10

第2章 函数与方程12

2.1 函数及其图形12

2.1.1 一元函数的有关概念与性质13

2.1.2 一元函数运算与图形变换16

2.1.3 一元函数的反函数19

2.1.4 基本初等函数及其图形20

2.1.5 多元函数与多元初等函数23

2.2 曲面的方程25

2.2.1 函数与方程25

2.2.2 曲面的一般方程与参数方程25

2.2.3 曲面的等高线与等高线图26

2.2.4 几种常见曲面的一般方程与参数方程28

2.3 空间曲线的方程32

2.3.1 空间曲线的一般方程与参数方程32

2.3.2 常见空间曲线及其方程33

习题34

第3章 极限与连续37

3.1 极限的概念37

3.1.1 有关极限的几个例子37

3.1.2 直观的极限概念与几个重要极限39

3.1.3 点函数的极限45

3.2 极限的计算45

3.2.1 极限的运算45

3.2.2 无穷小的概念与无穷小的阶49

3.3 连续函数的概念50

3.3.1 函数的连续与间断50

3.3.2 一元函数间断点的类型及其对应的函数图形51

3.3.3 多元函数的点连续52

3.3.4 初等函数的连续性52

3.4 连续函数的性质与连续变量的离散性53

3.4.1 连续函数的最值性与介值性53

3.4.2 连续函数的零点定理与求方程根的二分法54

3.4.3 连续变量的离散化55

习题56

第4章 微分学及其应用59

4.1 导数的概念59

4.1.1 问题的提出59

4.1.2 平均变化率、瞬时变化率与导数61

4.1.3 导数的几何意义与实际意义61

4.1.4 高阶导数62

4.2 求导法与求导法则63

4.2.1 近似求导法63

4.2.2 导数公式与求导运算63

4.2.3 由方程与参数方程确定函数的求导法67

4.3 多元函数的偏导数69

4.3.1 二元函数偏导数的概念及其求法69

4.3.2 多元函数偏导数的概念及其求法70

4.4 导数的应用71

4.4.1 一元函数的单调性与凹凸性71

4.4.2 一元可导函数的极值与最值73

4.4.3 多元函数的极值与最值问题75

4.5 非线性函数的线性化77

4.5.1 微分与全微分77

4.5.2 非线性函数的线性化79

4.5.3 线性化应用80

4.5.4 二元函数的梯度及其应用82

习题85

第5章 积分学及其应用88

5.1 定积分的概念88

5.1.1 积分的基本思想88

5.1.2 定积分的定义91

5.1.3 定积分的几何意义92

5.1.4 定积分的性质94

5.2 微积分基本定理96

5.3 积分法99

5.3.1 不定积分的概念与基本积分公式99

5.3.2 直接积分法100

5.3.3 凑微分法102

5.3.4 定积分的换元法104

5.3.5 分部积分法105

5.4 广义积分107

5.4.1 无穷区间的广义积分107

5.4.2 无界函数的广义积分109

5.5 定积分应用举例110

5.5.1 平面图形的面积110

5.5.2 旋转体的体积111

5.5.3 变力所作的功113

5.5.4 均匀货币流的价值113

5.6 重积分115

5.6.1 重积分的概念115

5.6.2 二重积分的概念与性质117

5.6.3 二重积分的计算118

5.6.4 二重积分的应用123

5.7 对坐标的曲线积分125

5.7.1 对坐标的曲线积分的概念125

5.7.2 对坐标的曲线积分的计算126

5.7.3 格林(Green)公式128

5.7.4 平面曲线积分与路径无关的条件130

5.8 积分的近似计算131

5.8.1 矩形法131

5.8.2 梯形法132

5.8.3 抛物线法133

5.8.4 广义积分的近似计算134

5.8.5 二重积分的近似计算135

习题136

第6章 矩阵及其应用140

6.1 矩阵引例140

6.2 矩阵142

6.2.1 矩阵的概念142

6.2.2 矩阵的运算143

6.2.3 初等矩阵与矩阵的初等变换145

6.2.4 矩阵的秩147

6.3 方阵的几种特殊运算148

6.3.1 方阵的行列式148

6.3.2 方阵的幂153

6.3.3 逆矩阵155

6.4 n维向量158

6.4.1 n维向量158

6.4.2 向量组的线性关系158

6.5 矩阵应用161

6.5.1 解线性方程组161

6.5.2 矩阵的特征值与特征向量163

6.5.3 矩阵与图形的几何变换165

6.5.4 实二次型168

习题170

第7章 级数与逼近175

7.1 问题的引入175

7.2 测量数据的处理175

7.2.1 多项式插值176

7.2.2 泰勒逼近多项式与泰勒级数181

7.3 无穷级数及其收敛183

7.3.1 和的极限与级数收敛183

7.3.2 级数的基本性质185

7.4 级数敛散性的判别法186

7.4.1 正项级数收敛的判别法186

7.4.2 交错级数的莱布尼兹判别法190

7.4.3 一般数项级数的收敛性190

7.5 函数项级数192

7.5.1 一般函数项级数的概念192

7.5.2 幂级数及其收敛半径192

7.5.3 幂级数的运算及和函数195

7.5.4 函数展开成幂级数197

7.6 函数逼近与数据拟合199

7.6.1 最佳均方逼近准则200

7.6.2 最小二乘法200

习题201

第8章 微分方程205

8.1 微分方程的基本概念205

8.1.1 实例205

8.1.2 微分方程的基本概念207

8.2 一阶微分方程209

8.2.1 可分离变量的微分方程209

8.2.2 齐次型微分方程211

8.2.3 一阶线性微分方程212

8.3 二阶线性微分方程215

8.3.1 实例215

8.3.2 二阶线性微分方程解的结构215

8.3.3 二阶常系数线性齐次微分方程217

8.3.4 二阶常系数线性非齐次微分方程220

8.4 微分方程组225

8.5 微分方程的近似解229

8.5.1 微分方程的近似解229

8.5.2 欧拉折线法229

8.5.3 改进的欧拉折线法230

8.5.4 龙格·库塔法231

习题232

第9章 傅氏级数与积分变换234

9.1 傅氏级数234

9.1.1 傅氏级数的引例234

9.1.2 以2π为周期的函数展开成傅立叶级数235

9.1.3 以T为周期的函数的傅氏级数238

9.1.4 周期函数的频谱240

9.2 傅立叶变换242

9.2.1 非周期函数的展开--傅氏积分242

9.2.2 傅氏变换243

9.2.3 几种典型非周期信号的频谱244

9.2.4 单位冲激函数及其频谱246

9.3 傅氏变换的性质249

9.3.1 傅氏变换的性质249

9.3.2 卷积定理252

9.3.3 相关函数与能量谱253

9.4 拉普拉斯变换255

9.4.1 拉普拉斯变换的概念255

9.4.2 拉氏变换的性质258

9.4.3 拉氏逆变换260

9.4.4 拉氏变换的应用261

习题263

第10章 统计与随机模拟基础265

10.1 统计的有关问题265

10.2 统计分析基础266

10.2.1 啤酒装瓶的容积267

10.2.2 频率直方图268

10.2.3 概率、概率密度函数与条件概率269

10.2.4 随机变量的数字特征272

10.2.5 几种特殊的分布函数及其数字特征274

10.2.6 几种特殊离散型随机变量的分布律277

10.3 统计分析方法280

10.3.1 统计分析要解决的问题280

10.3.2 参数估计281

10.3.3 假设检验与实例283

10.3.4 方差分析与实例285

10.3.5 回归分析与实例287

10.3.6 主成份分析与实例289

10.4 随机模拟初步292

10.4.1 随机模拟问题292

10.4.2 随机变量的抽取294

10.4.3 随机系统模拟297

10.4.4 提高抽样效率的两种方法299

10.5 几个有用的例子300

10.5.1 蒙特卡罗积分300

10.5.2 近似计算中的误差估计302

习题303