《表1 对隐函数求偏导的3种方法比较》

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《隐函数求偏导数的一点注记》

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不管是方程确定的隐函数还是方程组确定的隐函数，直接法、公式法和全微分法都是适用的.从以上三个例子可以看出，直接法和全微分法不需要记公式，但直接法一定要注意隐函数里面隐含有自变量，要考虑隐含关系，求偏导的时候一定要注意这个问题.比如例1的解法1中“xyz”项对x求偏导，经常会有学生给出答案为“yz”，这是错误的，出现错误的原因就是没有注意这里z是包含x、y的隐函数，没有考虑隐含关系；正确的答案是，因为z是包含x、y的隐函数，所以对x求偏导时“x y z”中“x”和“z”都是x的函数，应该将“xyz”看作乘积关系，进而利用乘法求（偏）导公式.例2中利用直接法同样要注意u、v是x、y的隐函数，求偏导数时要注意这种隐含关系，如解法1.但直接法的好处是不需要记忆求偏导公式.全微分法是利用全微分的形式不变性，把出现的变量全部看成自变量，不需考虑隐函数与自变量之间的隐含关系，把出现的变量全部看作自变量，取全微分然后整理即可.如例1和例2，就把x、y、z和x、y、u、v均看作自变量，所以例1中求全微分，会出现微分dx、dy、dz，例2中会出现微分dx、dy、du、dv，然后将dz（例1）或du、dv（例2）表示出来，就可以一次性求出两个偏导或四个偏导，而不用像直接法即解法1，需要解两个方程（方程确定的隐函数，如例1）或两个方程组（方程确定的隐函数，如例2）才能求出所有的偏导，计算量大大减少.公式法需要首先构造函数，方程确定的隐函数构造一个函数F即可，方程组确定的隐函数构造两个函数F、G，求出构造的函数对出现的所有变量的偏导即可，求F对x、y、z（将出现的变量x、y、z均看作自变量）的偏导或F、G对x、y、u、v（将出现的变量x、y、u、v均看作自变量）的偏导，代入定理1或定理2的公式即可，计算过程也比较简单，但需要记忆公式，尤其是方程组确定的隐函数求偏导的公式记忆是比较麻烦的.总的来说，由方程确定的隐函数求偏导，三种方法均可，相对来说直接法容易出错一点，公式法和全微分比较简单；方程组确定的隐函数求偏导，常采用直接法或全微分法，公式法用的较少，直接法计算量偏大.三种方法的比较结果见表1.