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绪论1

1 计算方法的主要内容1

2 数的近似表示3

3 离散变量与离散化5

4 逼近的概念7

5 迭代10

第一章 线性代数方程组的解法16

1 引言16

1-1 研究数值解法的必要性16

1-2 一些说明17

1-3 与解线性代数方程组有关的问题17

1-4 精确法与迭代法18

2 消去法20

2-1 简单的消去法20

2-2 无回代过程的消去法22

3 消去法与矩阵分解24

3-1 简单消去法与三角状分解24

3-2 无回代过程的消去法与矩阵分解29

3-3 α11，α？，α？，α？，与主子行列式31

3-4 求方阵的逆与矩阵分解31

3-5 小结--两种消去法之比较31

4 紧凑格式与平方根法34

4-1 紧凑格式34

4-2 对称方阵的三角状分解与平方根法37

5 三对角方程组38

6 主元选取42

6-1 主元选取之必要性42

6-2 主元选取的办法44

7 向量的范数与方阵的范数45

7-1 向量范数45

7-2 方阵的范数46

7-3 谱半径、谱范数与F范数N(A)50

8 方阵的状态、解对系数的敏感性以及解法的稳定性52

8-1 简单的例52

8-2 要考虑的问题53

8-3 状态数(条件数)55

8-4 选取主元的(简单)消去法之稳定性57

9 迭代法58

9-1 简单迭代法与塞德尔(Seidel)迭代法58

9-2 简单迭代法与塞德尔迭代法的收敛性60

9-3 迭代法的矩阵写法与一般迭代过程63

9-4 两个重要定理64

9-5 关于判别条件Ⅰ与Ⅱ的论证68

9-6 松弛概念与逐个超松弛法69

10 最速下降法与共轭斜量法73

10-1 几何意义与等价问题73

10-2 最速下降法76

10-3 共轭斜量法77

习题81

1 引言86

第二章 求方阵的特征值与特征向量86

2 雅可比方法87

2-1 旋转变换87

2-2 雅可比方法89

3 求对称方阵特征值的对分法90

3-1 C=［bi-1,ci,bi］？的施斗姆性质91

3-2 将A相似简化为C的两种办法94

3-3 求A的相应特征向量97

4 乘幂法99

习题104

1 拉格朗日(Lagrange)插值106

第三章 插值与逼近106

2 差商与牛顿插值公式110

2-1 差商的概念110

2-2 牛顿插值公式111

2-3 差商的基本性质112

2-4 差商表与例113

2-5 带重合基点的差商114

3 差分与等距节点插值公式115

3-1 差分记号115

3-2 等距节点的插值公式117

4 埃尔米特(Hermite)插值公式120

5-1 基本概念122

5 样条函数插值122

5-2 插值问题与端点条件123

5-3 在内结点处的关系式及线性方程组124

6 正交多项式129

6-1 正交函数系的概念129

6-2 切彼晓夫(ЧeбЫШeв)多项式Tn(x)130

6-3 切彼晓夫多项式的基本性质131

6-4 正交多项式Pn(x),Ln(x)，Hn(x)133

6-5 关于正交多项式的小结135

7 正交多项式系与最佳均方逼近138

8 切彼晓夫多项式在计算函数值时的应用142

8-1 利用切彼晓夫多项式来降低逼近多项式的次数142

8-2 切彼晓夫级数在函数值计算的应用144

9 曲线拟合145

9-1 问题提出与基本概念145

9-2 线性最小二乘问题与正则方程147

9-3 解线性最小二乘问题的正交三角化方法150

习题155

第四章 数值积分157

1 引言157

1-1 数值求积的必要性157

1-2 求积公式和它的代数精确度157

1-3 利用插值多项式直接导出的求积公式159

2 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)求积公式160

2-1 牛顿-柯特斯公式160

2-2 梯形求积公式与抛物线求积公式161

2-3 复合梯形与复合抛物线求积公式163

2-4 高阶牛顿-柯特斯公式166

3 龙贝格(Romberg)求积算法167

4 高斯求积公式170

4-1 不带权的高斯求积公式170

4-2 带权的高斯求积公式173

5 利用样条插值的求积公式175

习题176

第五章 常微分方程初值问题数值解法179

1 引言179

2-2 改进的尤拉折线法184

2 尤拉折线法与改进的尤拉折线法184

2-1 尤拉折线法184

2-3 预估-校正法188

3 龙格-库塔方法188

3-1 泰勒展开方法188

3-2 关于龙格-库塔方法189

3-3 龙格-库塔公式的推导191

4 线性多步法196

4-1 阿达姆斯外推法197

4-2 阿达姆斯内插法199

4-3 利用泰勒展开的办法202

5-1 哈明方法的计算步骤207

5 哈明方法207

5-2 推导公式(5.1)及(5.2)209

5-3 计算“表头”的方法210

6 收敛性和稳定性211

6-1 单步法的收敛性211

6-2 标准四阶龙格-库塔方法的绝对稳定区域216

6-3 简要说明217

7 方程组和刚性方程218

7-1 方程组和高阶方程218

7-2 刚性方程220

8 小结223

习题224

第六章 椭圆型方程的差分方法228

1 常微分方程边值问题的差分方法229

1-1 差分方程的建立229

1-2 差分方程组的可解性及误差估计230

1-3 解差分方程组的追赶法233

1-4 实例235

1-5 关于一般二阶常微分方程第三边值问题237

2 把二阶椭圆型方程边值问题化为差分方程238

2-1 正方形网格239

2-2 微分方程的差分逼近240

2-3 边界条件的近似处理244

2-4 差分方程解的存在唯一性、收敛性及误差估计247

3-1 差分方程组的矩阵形式和特征252

3 椭圆差分方程组的迭代解法252

3-2 迭代法的收敛速度256

3-3 逐个超松弛法258

4 重泊松方程的差分方法263

4-1 微分方程的差分逼近264

4-2 边界条件的近似处理265

习题267

第七章 抛物型和双曲型方程的差分方法270

1 抛物型方程的差分方法270

1-1 最简单的显式差分格式271

1-2 最简单的隐式差分格式273

1-3 六点对称格式274

1-4 李查逊(Richardson)格式275

1-5 一般线性抛物型方程的差分格式276

2 差分格式的稳定性和收敛性277

2-1 问题的提出277

2-2 ？--图方法279

2-3 稳定性的定义及最简单显式差分格式的稳定性281

2-4 隐式差分格式的稳定性284

2-5 差分格式的收敛性285

2-6 一般抛物型方程差分格式的收敛性及稳定性287

3 二维抛物型方程的差分格式291

3-1 显式差分格式291

3-2 交替方向格式293

4-1 微分方程的差分逼近294

4 线性双曲型方程的差分方法294

4-2 初值条件和边值条件的差分近似295

4-3 差分格式的收敛性297

4-4 差分方程的稳定性298

5 一阶双曲型方程组的特征线法306

5-1 特征和特征上的微分关系306

5-2 特征--差分方法308

5-3 一阶双曲型方程组的情况310

5-4 二阶双曲型方程与一阶双曲型方程的联系313

习题315

第八章 微分方程的有限元方法318

1 变分方法318

1-1 等价性定理319

1-2 里兹-加辽金方法324

1-3 例330

2 椭圆型方程的有限元方法333

2-1 变分原理333

2-2 剖分与插值338

2-3 变分问题的离散化347

2-4 误差估计及收敛性354

2-5 实例359

2-6 方法的特点362

2-7 关于单元剖分和插值函数的讨论363

3 抛物型和双曲型方程的有限元方法364

习题367