《绝对微分学》求取 ⇩

第一篇 张量代数的基础1

1.不变量，共变量，抗变量及其变换法则(预备理论)1

2.一般泛空.坐标变换5

3.一次变换.向量8

4.张量11

5.二级对称张量13

6.倒向量群14

8.张量之乘法16

7.张量之加法16

9.缩法17

10.移法18

11.一般坐标变换.张量的第一个一般定义.两种模范向量19

12.张量的第二个一般定义，举例22

13.更一般的变换法则.绝对微分学之目的24

第二篇 二次微分式之几何学26

Ⅰ.曲面之弧元素26

1.曲面之参数表示26

2.弧元素之平方.共变量性张量28

3.曲面上之前进方向30

4.两方向间之角度.抗变量性张量32

5.结合张量及特殊之相反张量35

6.曲面上之向量36

7.坐标线之参数及能率.曲面元素38

8.曲面的绝对几何学39

9.可展曲面41

10.几何定义42

Ⅱ.曲面上之平行42

11.几种推论.任意向量之平行44

12.无限小变位.平行的微分公式45

13.平行概念之绝对性质48

14.平行的记号方程49

15.平行的绝对方程50

16.Christoffel氏记号53

17.以共变分量表示之平行方程55

18.几种解析的推论56

19.平行变位之可交换性57

20.关于Vn之一般性质62

Ⅲ.推广以前各种概念令n度泛空有任意的量法62

21.欧氏泛空.包容定理63

22.角之量法66

23.Mn上之最短线71

24.最短线之微分方程73

25.最短曲率77

26.Mn上之平行，沿已知曲线之Bianchi氏向量导数79

27.最短线之自平行性83

28.无定(ds)2之几种注意84

1.共变导数86

第三篇 共变导数，不变量之微分参数，位置最短坐标86

2.举例89

3.Ricci氏定理90

4.抗变导数91

5.寻常微分学各规则之利用91

6.应用94

7.向量及二级张量之散率.不变量之微分参数94

8.几种变换法则.e-张量.向量乘积.容积97

9.向量之转率103

10.m-方位之概念.最短泛空105

11.位置最短坐标或位置加氏坐标107

12.Severi氏定理114

13.e-张量之共变导数115

第四篇 Riemann曲率张量Mn之曲率Ricci与Einstein记号116

1.轮回变位.平行与曲率之关系116

2.沿一初等平行四边形之轮回变位117

3.R？之基本性质121

4.R？之基本性质及其独立分量之总数123

5.Bianchi氏恒等式127

6.第二共变导数与微分次序生关系129

7.沿任意闭合无限小轮道之轮回变位131

8.Pérès氏公式137

9.曲面上之应用.M2之Gauss氏曲率138

10.Mn之Riemann氏曲率140

11.三度泛空之曲率张量.Ricci氏张量Aρσ及Einstein氏张量Gρσ144

12.三度泛空之Riemann氏曲率改成Ricci的形式.主方向，主曲率及均中曲率146

13.最短偏差153

14.Mn内之最短偏差155

15.最短偏差之方程之不变形式155

16.微分方程(81)之讨论.第一积分及一一次关系160

17.以位置加氏坐标yv表示微分方程群(85)之形式162

18.Jacobi氏方程为(88)之特例164

第五篇 用两种量性张量之Vn有常数曲率之Mn165

1.解析的Vn上用两种量性张量时Christoffel氏记号所生之差为第一量165

2.共变导数差167

3.Riemann氏曲率张量差169

4.同形变换173

5.Riemann氏曲率成为位置常数之Mn176

6.Schur氏定理179

7.Mn有常数曲率时其弧元素平方ds2之最简式180

第六篇 类零及类一之二次微分形式188

1.欧氏微分形式或类零之微分形式188

2.有常数曲率之Mn同形变换为一欧氏空间法.有相同常数曲率之Mn必能互相贴合193

3.欧氏空间之超曲面.第二基本形式197

4.一等二次微分形式(欧氏空间之超曲面)200

5.超球图及超曲面之曲率205

第七篇 Mn上之曲线汇209

1.汇之界说.最短汇及法线汇209

2.n曲线汇.曲n不变量决定一向量法213

3.Ricci氏旋转系数之几何定义216

4.对于弧长微分所生第二导数之交换规则221

5.含一最短汇之汇群222

6.汇群中一汇之最短曲率223

7.含一法线汇之汇群.完全正交性.γikl所适合之恒等微分方程式224

8.一已知汇之所属最简汇群227

9.欧氏空间之直线汇.最简汇群之几何意义231

1.用于自由质点之Hamilton氏原理.Lagrange氏方程237

第八篇 力学及几何光学之发展与Einstein氏四度宇宙之关系237

2.时间作为第四坐标.四度空时宇宙.宇宙线240

3.四度宇宙之一般坐标变换.“同时”概念241

4.哈氏原理改成爱氏形式.及此形式对任何坐标变换之不变性.相对原理242

5.力学定律变更后之运动方程，质量及能力246

6.惯性原理之爱氏形式.特别相对论251

7.刚体运动.其古典定义及其定义之变更255

8.R？mer氏时间单位.特别罗氏变换260

9.一般罗氏变换268

10.相对运动速度合成之定理.Fresnel一公式之运动学证法271

11.宇宙量法的更进一层底推广276

12.重要之特例279

13.相对量法之性的识别.用于质点动力学之最短原理.休止的及静止的弧元素281

14.M4用伪欧量法时之单位向量286

15.论长度为零之最短线287

16.几何光学中几个初等定理291

17.爱氏之几何光学及常数c之意义292

18.几何光学中条件ds2=0之意义296

19.休止相对量法内之Fermat氏原理298

20.古典力学中张力张量及其散率302

21.连续系力学之基本方程305

22.Galileo氏相对原理307

23.方程(70)及(71)之统一形式308

24.特别情形中连续系之运动方程改为爱氏形式310

25.一般情形.能力张量及其在一般坐标系中所有分量之意义313

26.连续系运动方程之相对形式318

27.连续系运动之一特类319

28.爱氏量性张量之实验底测定323

1.关乎爱氏量性张量之特性330

第九篇 引力方程及普遍相对论330

2.爱氏张量Gαβ及其散率.引力张量Gαβ-？Ggαβ332

3.物理现象及于量法之影响.引力方程之建立及其证明335

4.静止情形中之一般引力方程.真空339

5.第一密率与Poisson方程之关系345

6.算至第一密率止真空内特种牛顿引力场之爱氏基本形式ds2350

7.静止条件下系数g00=V2之更精密决定法354

8.牛顿力学之一问题357

9.爱氏之行星运动至第二密率.行星近日点之变位359

10.分光线之变位及光之偏斜363

11.M3上之球对称量法372

12.算曲率之别法380

13.球对称情形中之引力方程.Schwarzschild之严密解385

14.均匀空间量法及其宇宙学意义392

15.爱氏解及筒状宇宙396

16.DeSitter氏解及球状宇宙397

17.爱氏附项.其余严密解之指示406

附录：410

公式一览410

名词对照表414