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卷Ⅰ 数学中的归纳与类比3

第一章 归纳法3

1. 经验和观念4

2. 提示的吻合4

3. 印证6

4. 归纳的态度9

第一章的习题与评注10

第二章 普遍化、特殊化、类比14

1. 普遍化、特殊化、类比和归纳法14

2. 普遍化14

3. 特殊化15

4. 类比15

5. 普遍化、特殊化和类比18

6. 借助类比的发现21

7. 类比和归纳法26

第二章的习题与评注27

第一部分27

第二部分37

第三章 立体几何中的归纳法44

1. 多面体44

2. 第一个印证47

3. 再印证48

4. 严格的试验49

5. 两种印证51

6. 非常特殊的例子52

7. 类比53

8. 空间的分割55

9. 问题的变形56

10. 普遍化、特殊化、类比56

11. 一个类似的问题57

12. 一组类似问题59

13. 许多问题有时比只有一个问题更加容易解答60

14. 猜测61

15. 预言和印证62

16. 重新做更好63

17. 归纳提示演绎；特例提示普遍性证明64

18. 进一步的推测66

第三章的习题与评注67

第四章 数论中的归纳法77

1. 整数直角三角形77

2. 平方和80

3. 关于四个奇平方数之和82

4. 例题的研究83

5. 制观察表84

6. 什么法则？86

7. 归纳发现的本质89

8. 关于归纳论据的本质89

第四章的习题与评注93

第五章 归纳法的各种例子100

1. 展开式100

2. 近似值102

3. 极限105

4. 反驳的尝试106

5. 证明的尝试107

6. 归纳阶段的作用110

第五章的习题与评注111

第六章 一个更一般的命题119

1. 欧拉119

2. 欧拉的备忘录120

3. 转到较一般的观点132

4. 欧拉备忘录的概要133

第六章的习题与评注135

第七章 数学归纳法144

1. 归纳阶段144

2. 证明阶段147

3. 过渡的探讨147

4. 数学归纳法的技巧149

第七章的习题与评注156

第八章 极大与极小162

1. 模式162

2. 例题163

3. 等值线切线的模式166

4. 例题169

5. 部分变动的模式172

6. 算术和几何平均值定理及其第一推论175

第八章的习题与评注177

第一部分177

第二部分185

第九章 物理中的数学191

1. 光学的解释191

2. 力学的解释197

3. 新的解释200

4. 约翰·贝努利发现的捷线204

5. 阿基米德发现的积分学208

第九章的习题与评注213

第十章 等周问题226

1. 笛卡儿的归纳推理226

2. 潜在的推理228

3. 物理的推理229

4. 瑞利勋爵的归纳推理230

5. 导出推论231

6. 印证推论234

7. 非常接近239

8. 等周定理的三种形式242

9. 应用与问题243

第十章的习题与评注245

第一部分245

第二部分248

第十一章 似真推理的其他形式256

1. 推测种种256

2. 根据有关特例所作的结论259

3. 根据一般情况所作的结论259

4. 宁可作比较简单的推测262

5. 背景265

6. 无穷尽268

7. 常用的启发式的假设269

第十一章的习题与评注271

卷Ⅰ的结束语284

卷Ⅱ 似真推理的模式287

卷Ⅱ前言287

第十二章 若干明显的模式289

1. 推论的确证289

2. 若干推论的循序渐进的证明292

3. 对不可思议的推论的确证295

4. 根据类比所作的推理298

5. 类比的深化300

6. 根据类比所作的渐弱推理303

第十二章的习题与评注303

第十三章 进一步的模式和它们之间最重要的联系312

1. 推论的研究312

2. 可能的根据之研究313

3. 相抵触的推测之研究315

4. 逻辑术语316

5. 各似真推理模式间的逻辑联系319

6. 渐弱的推理320

7. 一览表322

8. 各种简单模式的组合323

9. 关于类比推理326

10. 更加明确的推理326

11. 关于逐次确证329

12. 关于对立的推测330

13. 关于审案的论证方法333

第十三章的习题与评注341

第一部分341

第二部分348

第十四章 偶然性，始终存在的对立推测365

1. 随机的大量现象365

2. 概率的概念368

3. 袋和球的应用373

4. 概率演算，统计假设377

5. 频率的直接预测379

6. 现象的解释387

7. 对统计假设的评估392

8. 在各种统计假设之间的选择398

9. 对于非统计的推测的评估408

10. 对于数学假设的评估425

第十四章的习题与评注429

第一部分429

第二部分431

第十五章 概率演算与似真推理逻辑445

1. 似真推理的法则445

2. 证明推理的一种观点449

3. 似真推理的有关观点451

4. 对概率演算的一点看法。困难456

5. 对概率演算的一点看法。尝试458

6. 推论的研究460

7. 可能根据的研究465

8. 互相矛盾的推测的研究466

9. 若干个连贯推论的研究468

10. 关于间接罪证471

第十五章的习题与评注473

第十六章 在发明与教学中的似真推理494

1. 本章的主题494

2. 关于小发现的叙述495

3. 解题的过程498

4. Deus ex machina(意外的结果)500

5. 启发式的证明502

6. 关于另外一个发现的叙述504

7. 若干典型的指示509

8. 发明中的归纳法511

9. 对教师说几句话518

第十六章的习题与评注521

习题解答534

参考书目648