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引言1

1微积分与初等数学的比较1

2 微积分是变量的数学2

3 微积分是辩证法在数学中的运用4

第一章变量与函数16

1变量16

一、变量与常量16

二、区间18

2 实践中的函数关系(举例)20

3函数概念25

一、函数的定义域25

二、函数的表示法27

三、反函数28

4函数符号31

一、函数符号31

二、函数值符号32

5建立函数式42

一、推导理论公式43

二、寻求经验公式60

1.选型定参60

2.插值65

6函数的增量匀变与非匀变78

一、函数的增量79

二、匀变与非匀变83

简短的结语88

第二章极限92

1几类基本变量92

一、无穷小变量92

二、无穷大变量99

三、有极限的变量103

1.极限的概念103

2.极限的四则运算法则105

3.极限过程中的变量值与极限值之关系109

四、有界变量111

2函数的极限113

一、函数的极限113

二、初等函数的极限115

三、待定型121

3 极限存在的两个判别准则及其应用127

4无穷小与无穷大的阶138

一、无穷小的阶138

二、无穷大的阶140

5函数的连续性141

一、连续函数的概念141

二、初等函数的连续性143

三、连续函数的性质143

四、间断点146

6 极限方法应用举例152

简短的结语160

第三章导数与微分163

1导数的概念163

一、实践中的变化率问题163

二、导数的定义167

三、计算导数的一般方法171

四、导数的几何意义176

五、变化率问题再举例185

2导数的计算194

一、基本初等函数的求导公式(包括反函数求导法则)195

二、导数运算的基本法则204

A.导数的四则运算法则204

1.常数乘函数的求导法则204

2.函数和、差的求导法则207

3.函数积的求导法则210

4.函数商的求导法则212

B.复合函数求导法则217

1.什么叫复合函数218

2.复合函数求导法则及释例219

3.求隐函数的导数246

4.求由参数方程所确定的函数的导数249

三、高阶导数251

3微分中值定理258

一、罗尔定理259

二、拉格朗日中值定理261

三、柯西中值定理264

4导数的应用268

一、分析曲线268

A.分析曲线的基本方法268

1.如何判断曲线的升降268

2.怎样找曲线的峰、谷点272

3.如何判断曲线的凹、凸性和确定拐点的位置282

4.曲线特征的综合分析——函数作图法289

B.曲线分析在物探中的应用举例300

1.特殊点法301

2.切线法312

3.空间场法317

二、最大最小值问题330

三、罗必达法则350

5微分360

一、微分的概念360

二、微分的计算370

三、微分的应用374

A.近似计算374

B.误差估计383

1.绝对误差和相对误差383

2.利用微分估计误差384

四、高阶微分390

简短的结语392

第四章积分395

1定积分的概念与性质395

一、实践中的定积分问题395

二、定积分的定义403

三、定积分的几何意义405

四、定积分存在的充分条件409

五、定积分的性质413

2微积分学基本定理423

一、原函数423

二、微积分学基本定理426

1.物理模型426

2.微积分学基本定理427

三、定积分与微分的联系431

3不定积分的概念和性质439

一、不定积分的概念440

二、基本积分公式表443

三、不定积分的性质446

4积分的计算447

一、直接积分法447

二、不定积分的换元法454

1.引例454

2.不定积分换元法则456

3.简单换元456

4.较复杂的换元478

5.有理函数的积分486

三、定积分的换元法499

四、不定积分的分部积分法503

五、定积分的分部积分法511

六、利用积分表求积分513

5广义积分522

一、无穷限积分522

二、无界函数的积分526

三、广义积分收敛性判别法530

6定积分的应用539

一、面积540

二、弧长548

三、旋转体的体积552

四、功555

五、平均值561

六、几种均匀磁化简单形体的磁异常569

〔附〕“等效磁荷”的概念588

7近似积分法593

一、数方格法594

二、称质量法596

三、面积仪法597

四、等距结点求积法597

1.矩形法598

2.梯形法600

3.抛物线法602

五、非等距结点求积法608

六、提“常量因子”法617

简短的结语624