《大学数学复习与试题解析》

高 等 数学1

1函数极限 连续性1

1.1一元函数基本概念1

1.2求极限的各种方法3

1.3无穷小比较12

1.4连续性与间断点14

习题119

2一元函数微分学21

2.1导数与微分基本概念21

2.2求导公式与求导法则25

2.3微分中值定理31

2.3.1与微分中值定理有关的等式的证明32

2.3.2与微分中值定理有关的不等式的证明38

2.3.3应用马克劳林展式求极限42

2.4洛必达法则44

2.4.1 0/0与∞-∞型未定式的极限45

2.4.2 ∞-∞型未定式的极限46

2.4.3 1∞，∞0，00型未定式的极限47

2.4.4洛必达法则的应用49

2.5导数的应用52

2.5.1几何上的应用53

2.5.2不等式的证明60

2.5.3经济上的应用61

习题263

3一元函数积分学66

3.1不定积分66

3.1.1应用基本积分公式的积分68

3.1.2应用换元积分法的积分70

3.1.3应用分部积分法的积分72

3.1.4综合应用积分法的积分74

3.1.5简单的无理函数的积分75

3.2定积分77

3.2.1关于定积分定义和性质的应用79

3.2.2变上（下）限的定积分83

3.2.3定积分的计算90

3.3定积分的应用97

3.3.1几何上的应用98

3.3.2物理上的应用105

3.3.3经济上的应用106

3.3.4与定积分有关的等式与不等式的证明107

3.4广义积分112

3.4.1广义积分的计算114

3.4.2广义积分敛散性判别117

习题3118

4空间解析几何120

4.1向量代数120

4.2平面与直线124

4.3曲面与曲线131

习题4135

5多元函数微分学137

5.1多元函数 极限 连续性137

5.2偏导数与全微分基本概念141

5.3求偏导法则146

5.4多元函数极值157

习题5161

6重积分163

6.1二重积分163

6.2三重积分173

6.3重积分的应用178

习题6185

7线积分面积分187

7.1曲线积分187

7.2曲面积分194

7.3三大定理198

7.4场论初步 方向导数208

习题7212

8无穷级数214

8.1常数项级数214

8.2幂级数224

8.2.1求幂级数的收敛域224

8.2.2求幂级数的和函数226

8.2.3借助于幂级数求数项级数的和228

8.2.4求函数的幂级数展开式229

8.2.5杂题232

8.3傅里叶级数236

8.3.1区间[-π，π]上的傅里叶级数237

8.3.2展开已知函数为正弦级数或余弦级数239

8.3.3区间[-l，l]上的傅里叶级数239

8.3.4杂题240

习题8243

9常微分方程246

9.1基本概念246

9.2一阶方程248

9.3二阶方程254

9.3.1特殊的二阶方程257

9.3.2二阶常系数线性方程258

9.3.3高于二阶的常系数线性齐次方程269

9.3.4欧拉方程270

9.3.5常系数线性方程组271

9.4微分方程的应用273

9.4.1求函数表达式273

9.4.2几何上的应用275

9.4.3物理上的应用277

9.5差分方程280

习题9282

线 性 代数284

10行列式284

10.1行列式的定义与性质284

10.2行列式的计算289

10.2.1将某行（列）化为非零元素甚少然后展开289

10.2.2化为上（下）三角行列式291

10.2.3观察分析法292

10.2.4利用已知结果和公式293

10.2.5寻求递推公式，利用数学归纳法294

10.2.6运用矩阵的运算和性质297

习题10300

11矩阵302

11.1矩阵及其运算302

11.2逆矩阵伴随矩阵矩阵方程306

习题11314

12向量316

12.1线性相关性秩316

12.2向量空间线性变换331

习题12338

13线性方程组341

13.1线性齐次方程组341

13.2线性非齐次方程组345

习题13354

14矩阵的对角化356

14.1特征值和特征向量356

14.2相似矩阵361

习题14367

15二次型369

15.1化二次型为标准形369

15.2正定二次型380

习题15384

概率论 数理统计385

16随机事件概率385

16.1随机事件及其运算385

16.2概率的定义与性质387

16.3条件概率与事件的独立性392

习题16400

17随机变量及其概率分布402

17.1随机变量402

17.2二维随机变量及其概率分布412

17.3随机变量函数的分布420

习题17430

18数字特征435

18.1随机变量的数字特征435

18.2二维随机变量的数字特征444

习题18456

19大数定律中心极限定理460

习题19464

20数理统计初步465

20.1数理统计的基本概念465

20.2参数估计471

20.3假设检验480

习题20484

习题答案与提示486