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怎样阅读本书？1

一、关于随机事件和随机试验2

1．事件这一名词为什么到学习概率时才出现？2

2．在相同条件下，不同的随机事件都可能发生吗？3

3．“随机”两字如何理解？3

4．在高中数学第三册（人民教育出版社1979年4月第1版，以后简称课本）第161页上，将“条件的一次实现”叫做一次试验，别的书上又叫做随机试验，这两者有什么差别？4

5．举出几个随机试验的例子，并指出其中的必然事件，不可能事件，随机事件。6

6．不动手做上述随机试验，根据什么来断定某个事件属于哪一类？7

7．对前面所讲的例3、例1、例5、例8、例7，能列举出它们各自的全部可能的试验结果吗？8

8．对于一个给定的随机试验来说，什么样的随机事件才叫基本事件（即试验的可能结果）呢？10

9．“将一枚伍分硬币连掷三次”与“将三枚13

伍分硬币掷一次”，这两个随机试验的基本事件（即试验的可能结果）一样多吗？13

10．给定一个随机试验，相应的基本事件集总是由有限个基本事件组成的吗？15

　 11．给定一个随机试验，它的基本事件集和随机事件、必然事件、不可能事件之间有什么关系？16

12．如果一个随机试验的基本事件集由n个基本事件组成，那么，与这个随机试验相应的随机事件共有多少个？16

二、概率的统计定义18

1．什么叫做随机事件A发生的频率？18

2．怎样理解随机事件的频率稳定性现象？19

3．为了观察随机事件的频率稳定性现象，你能设计几个简单易行的实验吗？21

4．怎样理解高中数学第三册162页上的概率定义？23

5．在什么条件下，可以用随机事件A的频率近似地表示它的概率？24

6．能否认为，当重复试验的次数n越大，事件A的频率？就越接近于概率P（A），即？=P（A）？24

7．怎样理解当重复试验次数n越来越大时，频率与概率接近的可能性越来越大？25

8．高中数学第三册第163页上说，“概率从数量25

上反映了随机事件发生的可能性大小”这句话怎么理解？25

9．某种肺病的死亡概率是0.3，假如某人得了这种疾病，应该如何来理解死亡概率是0.3？26

10．试用概率的统计定义说明：必然事件U的概率P(U)=1；不可能事件V的概率P(V)=0；随机事件A的概率P（A）满足不等式0≤P(A)≤1。27

11．如果P(A)=0,P(B)=1，能分别由此断定：A是不可能事件，B是必然事件吗？27

12．在每次随机试验中，如果事件A发生，那么事件B一定发生，它们的概率P（A）和P（B）满足什么样的不等式？28

三、概率的等可能型定义（即古典定义）28

1．等可能型随机试验是什么意思？28

2．随机试验都是等可能型的吗？30

3．概率的等可能型定义（即古典定义）是什么意思？30

4．取一颗骰子，将它抛掷一次，朝上一面为奇数（简称掷得奇数点）的概率是多少？将它连掷两次，两次掷得的点数之和为7的概率是多少？30

5．一个口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任意摸出2个，得到1个白球和1个黑球的概率是多少？32

6．一套书共有上、中、下三册，将它们任意列到书架的同一层上去，各册自左至右33

或自右至左恰好成上、中、下的顺序的概率是多少？33

7．从上述三题中，对解等可能型概率问题能得到哪些原则？34

8．从一副扑克牌（4×13=52张）中，任意抽出两张，这两张都是A的概率是多少？35

9．8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一个组内的概率是多少？36

10．将5个编了号的同样大小的球，放入6个编了号的盒内，问第一个盒落进3个球的概率是多少？将这个问题推广为一般形式，并解决它。40

11．在等可能型随机试验中，如何说明P(U)=1,P(V)=0,0≤P(A)≤1？41

12．下面两个命题是否正确：（1）如果P(A)=P(B)，那么A和B是同一随机事件；（2）如果A和B是同一随机事件，那么P(A)=P(B)。41

13．在等可能型随机试验中，若P(A)=0，则A是不可能事件，若P(A)=1，则A是必然事件，试说明之。42

四、事件的运算43

1．“事件A与事件B的和”是什么意思？43

2．“事件A与事件B的积”是什么意思？44

3．“事件A的对立事件”是什么意思？45

4．在1号和2号培养皿中，各种一粒玉米。（1）列举可能的发芽情况（即全体基本事件）；（2）用基本事件集的子集描述下列事件：A=“1号皿的玉米发芽”，B=“2号皿的玉米发芽”；（3）描述A+B,A·B,？和？这四个事件。46

5．在每天上午9时到10时这一小时内，统计某电话交换台所接到的呼唤次数ω，那么，A=“ω在100以内”，B=“ω在50到200之间”都是随机事件。如何描述A+B，A·B，？和？？47

6．“事件B包含事件A”是什么意思？47

7．“事件A等价于事件B”是什么意思？47

8．“事件A与事件B互斥”是什么意思？48

9．“事件A、B、C彼此互斥”是什么意思？48

10．怎样区分两个事件的互斥关系和对立关系？49

11．用Ω表示必然事件（即基本事件集），φ表示不可能事件，A表示给定的随机事件，求下列事件的运算结果：（1）A+？；（2）A·？；（3）A+Ω；（4）A·Ω ；（5）A+φ；（6）A·φ；（7）A+A；（8）A·A；（9）？的对立事件。49

12．请说明两事件之间的关系：？；50

A+B=（？·？）。50

13．请说明两事件之间的关系：A+B=A·B+？·B+A·？；A+B=A+？·B。51

五、有关互斥事件和对立事件的概率计算53

1．请用概率的统计定义说明：如果A与B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。53

2．请用概率的古典定义证明：如果A与B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)。54

3．在上面的第一问中是说明，第二问中是证明，这两者有差别吗？54

4．15台电视机中，有10台是飞跃牌，有5台是昆仑牌。从中任意选取两台，问两台中至少有一台是飞跃牌的概率是多少？55

5．“如果A·B·C=φ，那么P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)”，这个命题正确吗？56

6．10个外型一样的排球，其中正品6个，副品4个，从中任意取出3个。“三个中至多有2个是副品”的概率是多少？57

7．P(？)=1-P（A）是如何推导出来的？57

8．在概率计算中，用P(？)=1-P（A）有时比较简便，能举例说明吗？57

9．试用公式P(A)=1-P（？）解课本179页第5题。58

10．从一副扑克牌中抽出1张，放回后重新洗牌，再抽出1张，前后两次所抽的牌为同花的59

概率是多少？59

11．有10张人民币，其中：伍元的2张，贰元的3张，壹元的5张。从中任意抽取3张，问：（1）3张中至少有2张的币值相同的概率是多少？（2）3张的币值之和不等于7元的概率是多少？60

12．对前面学过的概率知识的综合应用题62

六、有关相互独立事件的概率计算65

1．怎样理解两事件相互独立？65

2．对课本173页摸球问题中的“没有影响”四个字，怎样用概率的等可能型定义来说明？66

3．课本173页上说，“两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积”，这句话象一个定理，但又没有证明，请加以说明。69

4．在解题过程中，怎样判断事件A与事件B是否相互独立？69

5．举出一个试验，其中的事件A与事件B不相互独立。70

6．如果A与B相互独立，那么？与B相互独立，A与？相互独立，？与？相互独立。这个命题对吗？72

7．某机械零件的加工由两道工序完成，第一道工序的不合格率为0.015，第二道工序的不合格率为0.02。假定这两道工序出不合格品是相互独立的，求产品的合格率。73

8．怎样用概率的统计定义说明事件A和事件B的相互独立？73

9．怎样区分“A、B互斥”和“A、B相互独立”？74

10．课本174页提到了n个事件的相互独立，请给以说明。76

11．如图6—1，电路由电池A、B、C并联组成。电池A、B、C损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率。77

12．请说明课本174页例1（3）的两种解法，能否有比这两种解法更为简便的解法呢？78

13．课本175页“至少有一个开关不出故障”的概率P(A+B+C)=1-P（？·？·？）是如何推导出来的？这个问题还有别的解法吗？80

14．甲击中目标的概率是0.5，乙击中目标的概率是0.4，丙击中目标的概率是0.05，三人各射击一次，击中目标的概率是0.5+0.4+0.05=0.95。这种说法对吗？82

15．某种大炮击中目标的概率是0.3，要用多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95％？83

16．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；84

（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率。84

17．一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯。每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作。如果在某段时间内，每个部件不出故障的概率都是p，计算在这段时间内能进行通讯的概率。86

七、独立重复试验87

1．课本176页的独立重复试验与课本162页的重复试验是相同的吗？87

2．从课本176页的射击问题中，似乎使人感到独立重复试验中，每一次试验只有两种相互对立的试验结果。凡是独立重复试验都是这样的吗？87

3．请用基本事件集说明课本176页的射击问题的解法。88

4．课本177页的公式Pn(K)=C？P？(1-P)？是怎样推导出来的？90

5．在解题时，哪一类问题可以看作独立重复试验？93

6．课本182页第10题应如何进行分析？93

7．设随机事件A在一次试验中发生的概率为ε>0，试证明：不管ε多么小，只要n94

足够大，在n次独立重复试验中，A至少发生一次的概率可以任意接近于1。94

8．对某种药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率为0.8，从患此病的病人中任意选出10人同时服用此药，求至少有6个病人被治愈的概率P。95

八、进一步的问题96

1．概率的几何型定义。96

2．甲、乙两人约定于中午12时到下午1时在公园门口会面，先到者等t（t≤60）分钟后离去，求两人能会面的概率。98

3．平面上画有等距离为a（a>0）的许多平行线，向平面内任意投一长度为l（l99

4．概率的统计定义，古典定义，几何定义有哪些共同的特点？100

5．请将高中数学第三册所讲的求事件的概率的方法作一个小结。101

6．说明广义加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)，并加以推广。105

7．有3个各不相同的螺栓和3个各不相同的螺母，恰好只能配成3套。现在任意地将3个螺栓分别放到3个螺母旁边，问至少配成一套的概率是多少？107

8．怎样定义条件概率？108

9．P（B）与P（B/A）有什么必然联系吗？109

10．怎样用条件概率定义两事件的相互独立？109

11．两事件相互独立的一般定义如何规定？111

12．证明：如果A与B相互独立，那么，A与？，？与B，？与？也分别相互独立。112

13．请说明n（n≥3）个事件相互独立的一般定义。113

14．请举出三个事件，它们不是相互独立的，但其中的任意两个都是相互独立的。114

15．请介绍广义乘法公式。114

16．一批产品，共100件，其中有5件不合格。收购站从中任意抽取5件进行检查，如果5件中至少有一件不合格，那么，收购站就不收购这批产品。试问这批产品被收购的概率是多少？115

17．请介绍全概率公式。116

18．请介绍全概率公式的应用。117

19．请介绍逆概率公式。119

20．请介绍逆概率公式的应用。121

参考书目122