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第1章 Bézīer曲线1

1.1 自由曲线造型概论1

1.1.1 样条函数插值的Hermite基表示1

1.1.2 端点条件及追赶法2

1.1.3 样条曲线3

1.2 割角多边形序列的生成及收敛(Bézīer曲线的几何生成法I)4

1.2.1 简单割角法4

1.2.2 割角多边形序的两个性质4

1.2.3 割角多边形序列的极限形式6

1.3 Bézīer曲线的基本几何性质及几何生成法II和III7

1.4 Bézīer曲线的离散构造与平面Bézīer曲线的保凸性质10

1.4.1 离散公式的导出10

1.4.2 离散公式的应用（平面Bézīer曲线的保凸性）12

1.5 Bézīer曲线的包络性质(几何生成法IV))12

1.6 Bézīer曲线的代数性质13

1.6.1 Bézīer曲线两种代数定义的等价性13

1.6.2 Bézīer曲线的幂基表示14

1.6.3 Hermite插值曲线的Bézīer表示15

主要文献16

参考文献16

第2章 B样条曲线18

2.1 B样条基函数的递推定义及其性质18

2.2 B样条曲线的包络生成及几何定义20

2.3 B样条曲线的基本几何性质及连续阶21

2.4 B样条曲线求值和求导的de Boor算法23

2.5 三次均匀B样条曲线的几何作图及设计技巧24

2.6 带重节点的三次B样条曲线的基本性质25

2.7 广义差商及B样条基函数的差商定义27

2.8 嵌入一个节点改变B样条基函数和B样条曲线表示28

2.9 连续嵌入同一个节点达K-1重时的B样条曲线30

2.10 离散B样条及离散B样条曲线31

2.11 平面B样条曲线的保凸性和变差缩减性(V.D.)性32

主要文献33

参考文献33

第3章 有理Bézīer曲线35

3.1 圆锥曲线的经典数学表示及其有理二次参数化35

3.2 有理Bézīer曲线的定义及其基本几何性质36

3.3 有理Bézīer曲线的离散构造及包络性39

3.4 平面有理Bézīer曲线的隐式化40

3.4.1 隐式方程的导出40

3.4.2 平面n次代数曲线有理参数化的条件41

3.5 有理二次Bézīer曲线的分类42

主要文献43

参考文献43

第4章 有理B样条曲线44

4.1 NURBS曲线的一般定义、递推求值及离散构造44

4.2 平面NURBS曲线的保形性46

4.3 NURBS曲线的包络生成及几何定义47

4.3.1 包络的存在性47

4.3.2 包络的唯一性48

4.3.3 NURBS曲线的几何定义50

4.4 NURBS曲线的显式矩阵表示51

4.4.1 基于差商的系数矩阵显示表示51

4.4.2 基于Marsden恒等式的系数矩阵显示表示53

4.4.3 特殊NURBS曲线的系数矩阵显示表示54

主要文献55

参考文献56

第5章 有理圆弧段与有理圆锥曲线段57

5.1 圆弧曲线段的有理二次Bézīer表示57

5.2 圆弧曲线段的有理三次Bézīer表示58

5.2.1 充分条件和充要条件的导出58

5.2.2 圆心角范围与顶点的几何作图59

5.3 圆弧曲线段的有理四次Bézīer表示60

5.3.1 充要条件的导出60

5.3.2 圆心角范围62

5.4 圆锥曲线段的有理三次Bézīer表示63

5.4.1 有理三次Bézīer曲线的降价条件与有理保形参数变换下的不变量63

5.4.2 有理三次圆锥曲线段向单位圆弧的转换64

5.4.3 有理三次圆锥曲线段的充要条件65

5.4.4 有理三次圆锥曲线段的分类条件67

5.5 圆弧曲线段与整圆的有理B样条表示68

主要文献68

参考文献69

第6章 几何样条插值、逼近及平面点列光顺70

6.1 平面点列的双圆弧样条插值71

6.1.1 最优切矢的确定71

6.1.2 双圆弧插值的算法72

6.2 平面点列光顺算法72

6.2.1 多余拐点的去除73

6.2.2 基于改进最小能量法的离散曲率光顺方法74

6.3 平面曲线的圆弧样条逼近和空间曲线的圆柱螺线样条逼近76

6.3.1 平面曲线的圆弧样条逼近76

6.3.2 空间曲线的圆柱螺丝样条逼近76

6.4 空间型值点位矢和单位切矢的双圆柱螺柱线插值78

6.5 由散乱型值点构造插值曲面78

主要文献80

参考文献80

第7章 矩形域和三角域上的参数函数曲面82

7.1 插值算子布尔和与张量积82

7.2 矩形域上的Bézīer曲面及其几何性质84

7.3 三角域上的Bézīer曲面及其几何性质86

7.3.1 三角域上的Bézīer参数曲面及其基本性质86

7.3.2 三角域上Bézīer函数曲面的正性和凸性90

7.4 矩形域上的的B样条曲面、有理Bézīer曲面与有理B样条曲面94

7.5 旋转曲面的有理Bézīer表示95

7.5.1 有理双二次Bézīer表示95

7.5.2 有理双三次Bézīer表示96

7.6 球面的有理参数表示97

主要文献97

参考文献98

第8章 广义Ball曲线与广义Ball曲面99

8.1 CONSURF系统中机身造型曲线的几何性质100

8.2 两种广义Ball曲线102

8.3 Wang-Ball基函数的性质102

8.4 Said-Ball Wang-Ball曲线与Bézīer曲线的比较103

8.4.1 递归求值103

8.4.2 与Bézīer曲线的互化105

8.4.3 升阶和降阶107

8.5 利用广义Ball曲线曲面对Bézīer曲线曲面求值109

8.6 三角Ball曲面110

8.6.1 三角Wang-Ball基及三角Wang-Ball曲面110

8.6.2 三角Wang-Ball曲面的升阶和递归求值111

主要文献112

参考文献112

第9章 曲线曲面的插值与拟合113

9.1 B样条曲线曲面的节点插值法113

9.2 C2连续的三次B样条插值曲面114

9.3 C1和C0连续的三次B样条插值曲线116

9.3.1 选取二重节点和三重节点的准则116

9.3.2 以重节点为界对插值曲线分段反求控制顶点的原理和算法117

9.4 参数无重节点的双三次B样条插值曲面118

9.5 参数有重节点的双三次B样条插值曲面120

9.6 C2，C1和C0连续的三次Bézīer样条插值曲线120

9.7 C2，C1和C0连续的双三次Bézīer样条插值曲面122

9.8 构造插值样条曲面时型值点不一致分布的均匀性检查124

9.9 带插值条件的B样条曲线光顺拟合124

9.10 带插值条件的B样条曲面光顺拟合125

9.11 带插值条件且与已知曲面作C1连续拼接的Bézīer曲面光顺拟合126

主要文献128

参考文献128

第10章 曲线曲面的几何连续性129

10.1 几何连续性概念的提出129

10.2 曲线的几何连续性131

10.2.1 曲线几何连续性的定义131

10.2.2 曲线的有理连续性134

10.2.3 有理连续性条件136

10.3 几何光滑拼接曲线的构造138

10.4 曲面的曲率连续140

10.4.1 曲率连续的一般条件140

10.4.2 矩形域上的有理Bézīer曲面的G2条件142

10.4.3 曲率连续拼接的有理Bézīer曲面的构造144

10.4.4 简单曲率连续拼接曲面的构造147

10.5 曲面的任意阶几何连续147

10.5.1 曲面Gn连续的定义147

10.5.2 有于几何连续的一般条件149

10.5.3 有理几何连续条件的求解149

10.5.4 有理几何连续的简单形式153

10.6 矩形域上有理Bézīer曲面的Gn拼接154

10.6.1 有理Bézīer曲面几何连续拼接的判定154

10.6.2 有理Bézīer曲面几何连续拼接的构造155

10.7 三角域和矩形域上有理Bézīer曲面的拼接156

主要文献157

参考文献157

第11章 参数曲线曲面的求交技术159

11.1 B样条曲线转化为Bézīer曲线160

11.2 B样条曲面转化为Bézīer曲线161

11.3 Bézīer曲线曲面的高度分析162

11.4 Bézīer曲线曲面离散层数的先验性公式166

11.5 对Riesenfeld关于曲线离散终判准则的改进167

11.5.1 三次Bézīer曲线的化直准则168

11.5.2 n次有理Bézīer曲线的化直准则168

11.5.3 一个极值问题169

11.6 Bézīer曲线和B样条曲线的离散求交法170

11.7 Bézīer曲面和B样条曲面的离散求交法171

11.8 Bézīer曲面与平面的求交172

11.9 有理Bézīer曲线曲面离散终判的先验性公式172

11.10 离散差分跟踪求交法175

11.10.1 多项式曲面的差分表示175

11.10.2 Bézīer曲面的关分矩阵和差分表示176

11.10.3 Bézīer曲面求交中跟踪子曲面片的选定177

11.10.4 离散差分跟踪求交178

11.11 曲面求交的活动仿射标架跟踪法179

11.11.1 球变换179

11.11.2 求交算法180

11.12 Bézīer曲面的环检测180

主要文献181

参考文献182

第12章 有理Bézīer曲线曲面的多项式逼近183

12.1 有理Bézīer曲线的两类多项多逼近h(r,p)和H（r,p）184

12.1.1 有理曲线Hermite逼近与Hybrid逼近的定义184

12.1.2 用传统的逼近论方法求h(s,s)的收敛条件185

12.1.3 h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的关系186

12.2 h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的余项188

12.3 h逼近曲线hr,p(t)与Hybrid曲线Hr,p(t)189

12.4 h(s,s)逼近与H(s,s)逼近的收敛条件192

12.5 低次h(s,s)逼近与H(s,s)逼近的收敛准则193

12.5.1 一次有理曲线多项逼近收敛的充要条件193

12.5.2 关于多项式根的几个引理193

12.5.3 二次有理曲线多项式逼近的收敛准则194

12.5.4 三次有理曲线多项式逼近的收敛准则195

12.5.5 重新参数化技术对收敛条件的影响195

12.6 h(s,o)逼近与H（s,o）逼近的收敛条件196

12.7 （r/p）有定极限值的h(r,p)逼近与H（r,p）逼近的收敛条件196

12.8 Hybrid曲线的移动控制顶点H（t）的界196

12.8.1 对具有对称权因子的低次有理曲线求Hs,s(t)的界197

12.8.2 利用矩阵方法对一般有理曲线求Hs,s(t)界198

12.8.3 利用复平面上的围道积分求Hrp(t)-Hrp的界200

12.9 一般情况下h(r,p)逼近与H（r,p）逼近收敛的充要条件202

12.10 用新的观点研究有理Bézīer曲线的H（r,p）逼近205

12.11 有理Bézīer曲面的Hybrid表示208

12.12 有理Bézīer曲面的两类多项式逼近H（r,p,s,q）和h(h,p,s,q)212

12.12.1 有理曲面Hybrid逼近与Hermite逼近的定义212

12.12.2 H（r,p；s,q）逼近的余项213

12.12.3 h(h,p；s,q)逼近与H（r,p；s,q）逼近的关系213

12.13 Hybrid曲面Hr,p；s,q(u,v)的递推计算关系216

12.13.1 一般情况216

12.13.2 简化情况219

12.14 有理Bézīer曲面H（r,p；s,q）逼近的收敛条件221

12.14.1 H（r,p；s,q）逼近余项的界221

12.14.2 H（s,s;s,s）逼近收敛的一个充分条件222

12.14.3 H（r,p；s,q）逼近收敛的充要条件222

主要文献223

参考文献223

第13章 有理Bézīer曲线曲面的求导和求积224

13.1有理Bézīer倍式化速端曲线224

13.1.1 Dir函数的定义和性质224

13.1.2 倍式化速端曲线的导出225

13.1.3 曲线导矢方向的界226

13.1.4 曲线导矢大小的界226

13.2有理Bézīer倍式化速端曲面227

13.2.1 倍式化速端曲面的导出227

13.2.2 曲面导矢方向的界228

13.2.3 曲面导矢大小的界229

13.3 动曲线轨迹的速端曲线230

13.3.1 速端曲面的直接导出230

13.3.2 曲面导矢界的估计231

13.4 有理Bézīer曲面的法矢232

13.4.1 Nrm函数的定义和性质232

13.4.2 曲面法矢的计算232

13.4.3 曲面法矢方向的界233

13.5有理Bézīer曲线的高阶导矢234

13.5.1 高阶导矢的递推算法234

13.5.2 导矢En-1表示的应用I：有理Bézīer曲线的弧长估计236

13.5.3导矢En-1表示的应用II：有理Bézīer曲线端点处的三阶导矢的计算236

13.5.4导矢En-1表示的应用II：有理Bézīer曲线的导矢界的估计237

13.6 二次有理Bézīer曲线的精确求积238

13.6.1 求积问题的提法与积分模型的简化238

13.6.2 精确求积公式的导出239

13.7 平面有理Bézīer曲线求积的多项式逼近241

13.7.1 平面Bézīer曲线求积241

13.7.2 平面有理Bézīer曲线求积的多项式逼近的误差界及其算法242

13.8 平面有理Bézīer曲线求积的降价逼近244

13.8.1 降价求积的误差估计244

13.8.2 降阶求积的算法247

13.9 二次和三次NURBS曲线求积247

主要文献247

参考文献247

第14章 Bézīer曲线曲面的降价逼近249

14.1 Bézīer曲线、Bézīer矩形片与Bézīer三角片的退化条件250

14.2 Bézīer曲线降阶的B网扰动和约束优化法251

14.2.1 降阶的显式算法和误差估计251

14.2.2 离散/降阶算法253

14.2.3 隆阶中的G1连续条件253

14.3 Bézīer矩形片与Bézīer三角片降阶的B网扰动和约束优化法254

14.3.1 Bézīer矩形片的降阶254

14.3.2 Bézīer三角片的降阶255

14.4 基于广义逆矩阵的Bézīer曲线一次性降多阶逼近257

14.4.1 端点不保插值的降多阶逼近257

14.4.2 保端点插值的降多阶逼近258

14.4.3 误差分析及实例258

14.5 保端点高阶插值的Bézīer曲线一次性降多阶逼近259

主要文献263

参考文献263

第15章 曲线曲面形式之间的互化264

15.1 二次NURBS曲线与二次有理Bézīer曲线之间的互化265

15.2 双二次NURBS曲线与双二次有理Bézīer曲线之间的互化266

15.3 三次NURBS曲线与三次有理Bézīer曲线之间的互化267

15.4 Bézīer三角片到退化矩形片的转化270

15.5 Bézīer三角片到三张非退化矩形片的转化272

15.6 Bézīer矩形片用线性函数实现广义离散及其到三角片的转化274

15.6.1 矩形参数域被分割为两块梯形域的广义离散算法274

15.6.2 矩形参数域被分割为三边区域和五边区域的广义离散算法275

15.6.3 Bézīer矩形片到两张三角片的转化276

15.7 Bézīer矩形片用高次代数曲线实现广义离散并用于曲面拼接277

15.7.1 矩形参数域被分割为两块曲边梯形域的广义离散算法277

15.7.2 矩形参数域被分割为三边和五边曲边区域的广义离散算法278

15.7.3 广义离散在几何连续接接和trimmed曲面参数表示中的应用279

15.8 基于de Casteljau算法的有理二次Bézīer曲线隐式化279

15.9 基于de Casteljau算法的平面有理n次Bézīer曲线隐式化281

主要文献285

参考文献285

第16章 等距曲线与等距曲面287

16.1 平面等距曲线289

16.2 Pythagorean-hodograph(PH)曲线291

16.2.1 定义和表示291

16.2.2 三次PH曲线的构造、特征和性质292

16.2.3 四次和五次PH曲线的构造293

16.2.4 PH曲线的等距曲线和弧长295

16.3 具有有理等距曲线的参数曲线（OR曲线）295

16.3.1 参数曲线的复形式表示295

16.3.2 参数曲线具有有理等距曲线的充要条件297

16.3.3 具有有理等距曲线的低次Bézīer曲线299

16.4 PH曲线和OR曲线的插值构造算法300

16.4.1 平面五次PH曲线G2Hermite插值300

16.4.2平面三次PH曲线偶的G1Hermite插值300

16.4.3平面八次抛物-PH曲线的G2Hermite插值301

16.5 基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近302

16.5.1 法矢曲线最佳多项式逼近的导出302

16.5.2 具有端点约束的法矢曲线最佳逼近303

16.5.3 Legendre级数与Jacobi级数的系数计算304

16.5.4 NURBS曲线的等距曲线逼近305

16.6 基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法306

16.7 具有有理中心线的管道曲面309

16.8 二次曲面的等距曲面310

16.8.1 椭圆抛物面和双曲抛物面的等距曲面311

16.8.2 椭球面的等距曲面311

16.8.3 单叶双曲面的等距曲面312

16.8.4 双叶双曲面的等距曲面313

16.9 有理直纹面的等距曲面313

16.10 基于球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法315

主要文献315

参考文献316

第17章 区间曲线与区间曲面319

17.1 区间Bézīer曲线的边界320

17.1.1 区间算术和区间点算术320

17.1.2 区间Bézīer曲线及其中心表达形式320

17.1.3 平面区间Bézīer曲线的边界321

17.1.4 空间区间Bézīer曲线的边界326

17.2 区间Bézīer曲线与Offset曲线之间的关系330

17.3 区间Bézīer曲面及其中心表达形式和边界结构331

17.4区间Bézīer曲面与Offset曲面之间的关系333

17.5区间Bézīer曲面逼近334

17.5.1区间Bézīer曲面对可微参数曲面作Taylor逼近334

17.5.2区间Bézīer曲面对有理曲面作多项式逼近335

主要文献336

参考文献336

第18章 基于切割磨光的曲线曲面离散造型338

18.1 切割磨光空间多边形的迭代算法339

18.2 切割磨光曲线的性质341

18.2.1 逼近性341

18.2.2 连续性342

18.2.3 光滑性344

18.2.4 几何性质346

18.3 切割磨光曲面造型的原理和算法347

18.4 切割磨光曲面造型的技巧和性质351

18.4.1 切割磨光的技巧351

18.4.2 切割磨光曲面的收敛性352

18.4.3 切割磨光曲面的光滑性355

18.5 任意拓扑网格的切割磨光法358

18.5.1 原理和方法358

18.5.2 切割磨光曲面的光滑性359

18.6 Catmull-Clark曲面和Doo-Sabin曲面362

18.6.1 Catmull-Clark曲面的生成362

18.6.2 Catmull-Clark曲面的连续性分析364

18.6.3 Doo-Sabin曲面的生成366

18.7 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面367

18.7.1 非均匀Doo-Sabin曲面和非均匀Catmull-Clark曲面的生成367

18.7.2 非均匀Doo-Sabin曲面的特征根分析371

18.8 蜂窝细分375

主要文献376

参考文献377

第19章 曲面的形状调配和变形379

19.1 简单曲面变形的顶点对应算法380

19.2 平面多边形的内在量及其调配算法380

19.3 空间多边形的内在量及其调配算法MSI381

19.3.1 内在变量集的定义及其与空间多边形的关系381

19.3.2 空间多边形调配的内在解382

19.4 空间四边形网格的形状调配算法384

19.5 空间三角网格的形状调配算法385

19.5.1 空间n次Bézīer三角网格的情形385

19.5.2 一般空间三角网格的情形386

19.6 自由曲线曲面的调配算法387

19.7 Bézīer曲线形状调配中的平衡化几何连续条件388

19.7.1 保持G1的曲线调配389

19.7.2保持G2的曲线调配389

主要文献390

参考文献390

第20章 曲面重建与简化392

20.1 曲面重建与简化的基本概念392

20.2 基于曲面网格的曲面重建技术394

20.3 基于球面多边形逼近的曲面简化技术395

20.4 医学序列图象三维重建的基本方法396

20.5 人体下颌下腺淋巴管的三维重建398

20.6 人喉的计算机三维重建及动态图形模拟398

20.7 人体子宫螺旋血管的三维重建398

主要文献398

参考文献399