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第一章集合、拓扑、线性运算与连续1

1集合1

1.1 集合与关系1

1.2 序与选择公理3

1.3 集合的基数5

1.4 良序集的序数10

2拓扑与连续12

2.1 拓扑空间与连续映射13

2.2 网与紧性20

2.3 度量空间25

2.4 连续函数30

2.5 Riemann流形35

2.6 拓扑群与Lie群47

3向量拓扑与线性算子53

3.1 赋范线性空间53

3.2 内积空间57

3.3 有界线性算子62

3.4 对偶空间与共轭算子64

3.5 线性拓扑空间68

3.6 缓增广义函数74

第二章测度79

1 σ-代数79

2 测度84

3 外测度91

4Rn上的正则Borel测度98

4.1 正则Borel测度98

4.2 Lebesgue测度104

5 几个反例107

第三章积分112

1 可测函数及其基本性质112

2 积分的定义及其基本性质118

3 积分号下求极限123

4 可测函数列的几种收敛性132

5 乘积测度与Fubini定理137

6 Rn上积分的变量替换145

第四章测度的分解与微分156

1 测度的Jordan分解及其变差156

2 测度的微分163

3Rn上的微分170

3.1 Hardy-Littlewood极大定理170

3.2 Lebesgue微分定理172

4R1上的有界变差函数176

4.1 有界变差函数与L.-S．积分176

4.2 绝对连续函数182

第五章函数空间及算子插值189

1Lp空间的基本理论189

1.1 完备性与可分性189

1.2 Lp空间的比较194

1.3 几个不等式196

1.4 Orlicz空间199

2 Lp空间的对偶200

3弱Lp空间与Lorentz空间206

3.1 分布函数与弱Lp空间206

3.2 重排函数与Lorentz空间209

4Lp空间的插值215

4.1 Riesz-Thorin定理及其推广215

4.2 Marcinkiewicz定理及其推广223

第六章Daniell积分与Radon测度231

1Daniell积分231

1.1 Daniell积分的扩张232

1.2 Daniell-Stone定理237

2拓扑空间上的Radon测度243

2.1 Riesz表示定理243

2.2 Radon测度的若干性质249

3 拓扑群上的Haar测度252

4拓扑群上的卷积260

4.1 拓扑群上的卷积260

4.2 Rn上的逼近恒等263

5 Rn上的Fourier变换267

第七章几何测度273

1Hausdorff测度与维数273

1.1 Hausdorff测度273

1.2 Hausdorff维数277

1.3 Lipα-曲面280

2 子流形的Hausdorff测度284

3Sobolev不等式与等周不等式290

3.1 Riesz位势与Sobolev不等式290

3.2 等周不等式294

4容度299

4.1 Bessel位势299

4.2 Bessel容度及其基本性质302

第八章向量值测度与积分310

1向量值测度及其基本性质310

1.1 向量值测度的定义310

1.2 向量值测度的总变差与半变差313

1.3 向量值测度的绝对连续性317

2向量值函数关于数值测度的积分320

2.1 向量值函数的可测性320

2.2 Dunford积分与Pettis积分324

2.3 Bochner积分328

3关于向量值测度的积分335

3.1 数值函数关于向量值测度的积分336

3.2 Bartle积分344

4Radon-Nikodym性质348

4.1 Radon-Nikodym性质348

4.2 可表示算子352

符号索引356

术语索引360

参考文献370