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目 录1

第一章高等代数1

1.1 数学元素与数学模型2

1.2集合5

1.2.1空集7

1.2.2子集与包含集8

1.2.3余集（补集）8

1.2.4集合的相等9

1.2.5交集9

1.2.6并集11

1.2.7差集12

1.2.8集合的乘积13

1.3 映射与变换14

1.3.1——映射16

1.3.2 A到B“中”的映射17

1.3.3 A到B“上”的映射18

1.3.4恒等映射18

1.4 同构与同态的概念20

1.5群27

1.5.1群的定义27

1.5.2群的基本定理31

1.5.3子群32

1.5.4群的同构与同态33

1.5.5几种常用的群36

1.6环和域58

1.6.1环58

1.6.2域60

1.7线性空间64

1.7.1 n维空间Rn和Cn及其中的向量65

1.7.2n维向量的运算和线性空间的公理化定义71

1.7.3维数、基底、坐标与基底的变换78

1.7.4线性空间的线性变换（线性映射）93

1.8矩阵的特征值和特征向量，矩阵的109

对角化和约当标准型109

1.8.1矩阵的特征值问题和特征值的确定110

1 8.2特征向量的确定与矩阵的对角化114

1.8.3关于矩阵特征值和特征多项式的一些性质及其它一些定理131

1.8.4矩阵特征值的估计151

1.8.5矩阵的约当标准型156

1.9二次型166

1.9.1二次型及其矩阵表达式167

1.9.2二次齐式的标准型和惯性定律169

1.9.3二次型和矩阵的正定性（定性）184

1.9.4双线性型201

1.9.5厄米特型（厄米特齐式，即厄米特二次型）204

1.10内积空间208

1.10.1定义和基本性质209

1.10.2度量矩阵和标准正交基214

1.10.3正交变换224

1.10.4共轭变换（伴随算子）与对称变换（自伴算子）226

1.10.5正算子与正定算子235

1.10.6子空间的正交关系，正交投影240

1.10.7投影定理和投影算子248

1.10.8酉空间与酉变换254

1.11 向量和矩阵的极限及范数262

1.11.1距离空间263

1.11.2向量和矩阵的极限264

1.11.3向量的范数267

1.11.4矩阵的范数273

1.11.5距离空间的完备性和完备化286

参考文献290