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第1部分广义函数基础1

第1章 广义函数与δ类广义函数1

1.1 线性空间与线性连续泛函1

1.1.1 线性空间1

1.1.2 算子1

1.1.3 泛函与线性连续泛函2

1.2 检验函数5

1.2.1 基本概念5

1.2.2 常义函数的支集检验函数按支集分类7

1.2.3 速降类与缓增类检验函数检验函数按趋势的分类11

1.2.4 检验函数的性质12

1.3 广义函数的定义13

1.3.1 定义13

1.3.2 常义函数序列的弱＊极限15

1.3.3 δ序列的弱＊极限17

1.3.4 小结21

1.4 广义函数的局部性质与图象21

1.4.1 广义函数的致零集与支集21

1.4.2 广义函数的相等22

1.4.3 广义函数的图象（波形）24

1.4.4 广义函数的分类25

1.5.1 两广义函数的加法运算26

1.5 广义函数的代数运算26

1.5.2 广义函数与常数的乘法运算27

1.5.3 广义函数与无限可微常义函数的乘法27

1.5.4 对广义函数的变量作线性变换28

1.5.5 对广义函数的变量x作非线性变换31

1.6 广义函数的广义导数33

1.6.1 广义导数的两种定义33

1.6.2 广义导数的性质34

1.6.3 广义函数的高阶广义导数35

1.6.4 广义导数的局部性质35

1.6.5 例36

1.7.1 广义函数的弱＊收敛序列及其完备性38

1.7 广义函数的完备性38

1.7.2 广义函数序列的广义导数41

1.7.3 例42

1.7.4 广义函数级数及其广义导数43

1.8 广义函数的不定积分44

1.8.1 原函数与不定积分44

1.8.2 一阶微分方程的解46

1.9 广义函数的阶段两个δ类广义函数的乘积46

1.9.1 广义函数奇异质点的阶47

1.9.2 δ类广义函数乘积的背景48

1.9.4 乘积与莱布尼兹公式的存在定理50

1.9.3 广义函数乘积的定义50

1.9.5 广义函数乘积的运算 例51

1.9.6 广义函数乘积的广义导数53

1.10 δ类广义函数定积分的概述53

1.10.1 基本概念53

1.10.2 广义函数定积分的性质55

1.10.3 分部积分公式56

第2章 伪函数58

2.1 引言58

2.2.1 记号与相互关系59

2.2 一些典型的具有第二类间断点的常义函数59

2.2.2 无界常义函数的反常积分，柯西主值与哈达玛有限部分62

2.2.3 ？f（x）？（x）dx与？f（x）？（x）dx的柯西主值与哈达玛有限部分64

2.3 伪函数66

2.3.1 伪函数的定义66

2.3.2 例68

2.4 伪函数的运算70

2.4.1 和差71

2.4.2 乘以无限可微的常义函数λ（x）72

2.4.3 广义导数74

2.4.4 多奇点常义函数的伪函数（概述）75

2.5 广义函数除以常义函数77

2.4.5 伪函数的两点简化77

2.6 复变函数中的一类广义函数79

2.6.1 函数x±j079

2.6.2 函数In（x±j0）80

2.6.3 函数（x±j0）-？与δ±（x）80

2.6.4 函数（x±j？）-？82

2.6.5　函数（x±j0）-？82

2.6.6 0＋与0－83

3.1.1 定义85

3.1 维检验函数85

第3章 广义函数的卷积85

第2部分广义函数的卷积、积分变换与应用85

3.1.2 检验函数的升维与降维86

3.1.3 引理86

3.2 广义函数的直积87

3.2.1 直积的定义87

3.2.2 直积的性质88

3.3 广义函数的卷积91

3.3.1 定义91

3.3.2 卷积存在的条件93

3.3.3 卷积的性质95

3.3.4 例98

3.4.1 引言99

3.4 卷积与相关对广义函数正则化的作用99

3.4.2 广义函数的正则化与逼近（卷积法）100

3.4.3 广义函数的正则化与逼近（相关法）101

3.4.4 证明卷积存在定理的充分条件（4）102

第4章 广义函数的傅里叶变换103

4.1 实变复值泛函与实变复值广义函数103

4.1.1 实变复值检验函数103

4.1.2 实变复值泛函与实变复值广义函数103

4.1.3 实变复值广义函数的基本运算103

4.2.1 经典傅里叶变换的回顾104

4.2 检验函数的傅里叶变换对104

4.2.2 各类检验函数的经典傅氏变换106

4.2.3 ？类广义函数109

4.2.4 用数字附标表示各类检验和广义函数109

4.2.5 检验函数经典傅氏变换的主要性质110

4.3 广义函数傅氏变换的定义与存在定理111

4.3.1 引言111

4.3.2 广义函数的傅氏变换与傅氏逆变换112

4.3.3 几点附注114

4.4 广义函数傅氏变换与傅氏逆变换的性质116

4.4.1 线性与唯一性116

4.4.3 变量x作线性变换117

4.4.2 极限117

4.4.4 广义导数119

4.4.5 广义函数共轭的傅氏变换与傅氏逆变换119

4.4.6 Parseval公式120

4.4.7 广义函数卷积的傅氏变换与傅氏逆变换121

4.5 例题122

4.5.1 用平移与线性性质123

4.5.2 用导数性质124

4.5.3 用卷积定理127

4.6 广义函数积分的傅氏变换与傅氏逆变换127

4.7.1 经典傅里叶级数的回顾129

4.7 周期性广义函数的傅里叶级数与傅氏变换129

4.7.2 周期性广义函数130

4.7.3 周期性广义函数的傅里叶级数131

4.7.4 傅里叶级数的傅氏变换与傅氏逆变换132

4.7.5 傅里叶级数的一般理论133

第5章 广义函数的拉普拉斯变换136

5.1 复变广义函数δ（s）136

5.1.1 复变常义函数的回顾与复变检验函数136

5.1.2 复变δ函数137

5.1.3 运算138

5.1.4 代数方程的广义函数解139

5.2.2 常义函数的右边拉普拉斯变换140

5.2.1 单边指数经常义函数140

5.2.3 右拉普拉斯逆变换的柯西积分式与留数表达式142

5.2.4 拉普拉斯变换对的泛函表达式143

5.2.5 例143

5.3 广义函数的右拉普拉斯变换144

5.3.1 单边指数级广义函数144

5.3.2 右拉普拉斯变换的定义与主要定理144

5.3.3 右拉普拉斯变换的性质148

5.2 经典的右拉普拉斯变换149

5.3.4 伪函数右拉普拉斯变换的例子158

5.3.5 右拉普拉斯逆变换159

5.4.1 左拉普拉斯变换的定义与主要定理162

5.4 广义函数的左拉普拉斯变换162

5.4.2 左拉普拉斯变换的性质164

5.4.3 左拉普拉斯逆变换167

5.5 第一种双边拉普拉斯变换168

5.5.1 第一种双边拉普拉斯变换的定义与主要定理168

5.5.2 第一种双边拉普拉斯变换的性质173

5.5.3 第一种双边拉普拉斯逆变换179

5.6 第二种双边拉普拉斯变换181

5.6.1 有限极点的区分问题181

5.6.2 第二种双边拉普拉斯变换的定义与主要定理183

5.6.3 性质187

6.1.1 经典理论的回顾196

第6章 微分方程的广义函数解196

6.1 微分方程广义函数解总论196

6.1.2 广义函数域中微分方程的解197

6.1.3 广义函数域中齐次微分方程的通解198

6.1.4 广义函数域中非齐次微分方程的解200

6.1.5 广义函数域中散分方程的稳定性204

6.2 用双边拉普拉斯变换求微分方程的广义函数解207

6.2.1 线性常系数常微分方程207

6.2.2 线性变系数常微分方程210

6.3 用单边拉普拉斯变换求微分方程初值问题的广义函数解211

6.3.1 因果系统211

6.3.2 反因果系统212

6.3.3 线性时不变微分差分因果系统的初值问题213

6.4 卷积商与广义函数213

6.4.1 卷积商214

6.4.2 卷积商的简单运算216

6.4.3 卷积及卷积商的幂次217

6.4.4 8的卷积及积分算子8＊218

6.4.5 8-1的卷积及微分算子8-1“＊219

6.4.6 常义函数的卷积商220

6.5 用卷积商求微分方程的广义函数解223

参考文献226

索引229