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第七章 常用的特殊函数1

7.0.1．渐近展开1

7.1．双曲线函数4

7.1.1．定义5

7.1.2．反函数6

7.1.3．应用。布朗法。布朗台-肯涅利图7

7.1.4．函数shx,chx,thx的图形9

7.1.5．指数函数及双曲线函数表9

7.2．正弦积分函数及余弦积分函数10

7.2.1．定义10

7.2.2．幂级数展开11

7.2.3．渐近级数展开12

7.2.4．函数Six及Cix的图形12

7.2.5．Six及Cix函数表13

7.2.6．函数Cix及Six的极大值或极小值表15

7.3．误差函数16

7.3.1．定义16

7.3.2．Θ（x）的级数展开17

7.3.3．1—Θ（x）的渐近展开17

7.3.4．1—Θ（x/2）的柯西积分表达式18

7.3.5．Θ（x）＝？∫？e-t2dt的数值表19

7.3.6．函数Θ（x）＝？∫？e-t2dt的图形20

7.3.7．菲涅耳积分20

7.4．阶乘函数22

7.4.1．定义22

7.4.2．阶乘函数的性质24

7.4.3．Γ（z）的一些值得注意的数值26

7.4.4．阶乘函数的对数导数26

7.4.5．用柯西积分表示阶乘函数27

7.4.6．第一类及第二类欧拉函数间的关系《倍加公式》28

7.4.7．函数y＝Γ（x＋1）的图形30

7.4.8．Γ（1＋x）数值表31

7.5．贝塞耳函数32

第一类及第二类贝塞耳函数32

7.5.1．第一类函数的求法32

7.5.2．Jv（z）和J-v（z）间的关系34

7.5.3．第二类贝塞耳函数的求法35

7.5.4．递推公式37

7.5.5．应用递推公式计算某些积分38

7.5.6．洛美尔积分40

7.5.7．指标相差为整数的两个函数间的关系42

7.5.8．应用洛美尔积分把一个函数展开成贝塞耳函数的级数43

7.5.9．第一类及第二类贝塞耳函数在指标取特殊值时值得注意的形式。指标等于一个奇数的一半v＝n＋1/2的情形44

7.5.10．应用于计算菲涅耳积分46

7.5.11．指标等于一个整数v＝n的情形47

7.5.12．用定积分表示Jv（z）49

7.5.13．用柯西积分表示Jv（z）50

7.5.14．加法公式51

7.5.15．第三类贝塞耳函数或汉克尔函数。定义52

7.5.16．渐近展开式52

7.5.17．贝塞耳函数的数字计算。例题53

7.5.18．z值很大时贝塞耳函数的极限形式54

7.5.19．贝塞耳函数的零点55

7.5.20．曲线y＝J0（x），J1（x），J2（x），56

7.5.21．曲面z＝f（x,v）＝Jv（x）及其说明57

7.5.22．曲线y＝J-1/2（x），J-3/2（x），61

7.5.23．曲线y＝Y0（x），Y1（x），Y2（x），61

7.5.24．曲面z＝f（x,v）＝Yv（x）62

第一类及第二类变态贝塞耳函数63

7.5.25．第一类变态贝塞耳函数63

7.5.26．第二类变态贝塞耳函数63

7.5.27．渐近展开式64

7.5.28．递推公式65

7.5.29．各种公式65

7.5.30．曲线I0（x），I1（x），K0（x）及K1（x）67

开耳文函数68

7.5.31．零阶开耳文函数68

7.5.32．v阶开耳文函数70

7.5.33．用模及辐角表示开耳文函数70

7.5.34．开耳文函数的导数71

7.5.35．函数berz，beiz，M0（z），θ0（z）的图形72

能化成贝塞耳微分方程的微分方程73

7.5.36．主要类型73

应用贝塞耳函数的一些例子77

7.5.37．一端悬住的有重量的线的摆动77

7.5.38．拉普拉斯方程所确定的某些运动的研究79

7.5.39．均匀张紧膜片的振动80

7.5.40．圆形膜片的情形81

7.5.41．回转圆柱形空腔的电磁固有振荡82

7.5.42．电磁波在无穷长回转圆柱内部的传播87

7.5.43．同轴波导情形89

7.5.44．交流通过回转圆柱导体的趋肤效应91

7.5.45．调频波的频谱93

贝塞耳函数的数值表98

7.5.46．函数J0，J1，Y0，Y198

7.5.47．贝塞耳函数J2，J3，…，J9104

7.5.48．贝塞耳函数J10，J11，…，J17105

7.5.49．函数J′n（z），Jn（z）的前几个根值表106

7.5.50．贝塞耳函数J1/2，J3/2，…，J13/2109

7.5.51．贝塞耳函数J-1/2，J-3/2，…J-13/2110

7.5.52．函数ber，bei，ker，kei及它们的导数111

7.5.53．函数M0，θ0，M1，θ1116

7.5.54．参考文献118

7.6．勒让德函数118

7.6.1．引言118

7.6.2．展开成幂级数119

7.6.3．勒让德多项式122

7.6.4．勒让德多项式的母函数122

7.6.5．勒让德多项式举例125

7.6.6．用定积分表示勒让德多项式。拉普拉斯公式126

7.6.7．递推公式127

7.6.8．罗德里吉公式128

7.6.9．勒让德多项式的正交性129

7.6.10．勒让德多项式的一些值131

7.6.11．勒让德多项式的根132

7.6.12．薛拉夫里积分132

7.6.13．广义勒让德多项式。盖根包尔多项式132

7.6.14．第一类勒让德函数133

7.6.15．曲面y＝Pv（cosθ）的描绘136

7.6.16．第一类勒让德函数的零点137

7.6.17．递推公式138

7.6.18．用柯西积分所定义的第一类勒让德函数139

7.6.19．第二类勒让德函数。定义141

7.6.20．用柯西积分所定义的第二类勒让德函数144

7.6.21．勒让德关联函数145

7.6.22．指标是正整数时的勒让德关联函数147

7.6.23．递推公式150

7.6.24．勒让德关联函数的正交性152

7.6.25．勒让德关联函数的一些值153

7.6.26．球面调和函数155

7.6.27．第一类勒让德函数的图形156

7.6.28．第二类勒让德函数的图形156

7.6.29．前7个勒让德多项式的数表157

7.6.30．第一类规格化勒让德关联函数的图形161

7.6.31．应用。球形空腔的电磁振荡163

7.6.32．参考文献166

7.7．马修函数166

7.7.1．整数指标的马修函数167

7.7.2．整数指标马修函数的正交性168

7.7.3．展开成傅里叶级数168

7.7.4．特征方程170

7.7.5．函数cem（z,q）及sem（z,q）的性态171

7.7.6．整数指标变态马修函数172

7.7.7．任意α及q的马修函数172

7.7.8．用贝塞耳函数的级数展开式175

7.7.9．第二类马修函数176

7.7.10．参考文献177

7.8．韦伯-厄密特函数。厄密特多项式177

7.8.1．韦伯-厄密特函数或抛物柱面函数177

7.8.2．厄密特多项式180

7.8.3．母函数及正交性182

7.9．切贝雪夫多项式185

7.9.1．定义185

7.9.2．Tn（ω）及Un（ω）的图形188

7.9.3．切贝雪夫多项式的主要性质189

7.9.4．切贝雪夫多项式的基本性质194

7.9.5．应用196

7.10．赫尔维茨多项式及正实函数201

7.10.1．引言201

7.10.2．赫尔维茨多项式系数的符号202

7.10.3．赫尔维茨多项式偶部与奇部之比的性质202

7.10.4．赫尔维茨多项式偶部与奇部之比的零点的性质203

7.10.5．罗特-赫尔维茨准则204

7.10.6．近似赫尔维茨多项式207

7.10.7．正实函数208

7.10.8．正实函数的极点与零点208

7.10.9．正实函数的准则209

7.10.10．参考文献213

7.11．拉格尔多项式213

7.11.1．定义213

7.11.2．母函数214

7.11.3．递推关系215

7.11.4．拉格尔多项式的正交性216

7.11.5．函数展开成拉格尔多项式的级数217

7.11.6．广义的拉格尔多项式218

7.11.7．参考文献220

第八章 运算微积221

8.1．引言221

8.1.1．应用范畴的限制221

8.1.2．稳定状态的计算222

8.1.3．瞬变状态的计算223

8.1.4．单位阶跃函数224

8.2．亥维赛电路理论225

8.2.1．瞬变响应的定义。弗希定理226

8.2.2．瞬变响应的计算228

8.3．运算微积232

8.3.1．拉普拉斯变换。卡生变换232

运算法则236

8.3.2．加法236

8.3.3．比例尺的改变239

8.3.4．函数h（t）的导数241

8.3.5．函数h（t）的积分241

8.3.6．变量p的平移242

8.3.7．函数h（t）的平移242

8.3.8．函数F（p）的导数243

8.3.9．函数F（p）的积分244

8.3.10．卷积定理或波莱尔定理244

8.3.11．其他公式246

8.3.12．亥维赛展开定理248

8.3.13．展开定理在电路中的应用。直流情形249

8.3.14．交流情形250

8.3.15．重根的情形252

常用函数的变换式254

8.3.16．有理函数的原函数254

8.3.17．整数阶贝塞耳函数的象函数256

8.3.18．Int的象函数260

8.3.19．正弦及余弦积分的象函数260

8.3.20．误差函数的象函数261

8.3.21．单位脉冲的象函数263

反变换公式的应用265

8.3.22．梅林—傅里叶定理265

8.3.23．应用反变换公式的注意点268

8.3.24．亥维赛展开定理的推广273

间断函数的象函数。应用274

8.3.25．引言274

8.3.26．非周期的间断函数的象函数275

8.3.27．周期的间断函数的象函数277

变换函数表281

8.3.28．引言281

8.3.29．连续函数282

8.3.30．间断函数289

8.4．运算微积在电路中的应用292

8.4.1．振荡回路293

8.4.2．在具有两个耦合回路的系统中的应用示例296

8.4.3．在起始时间电路并不处在平衡状态的情形301

8.4.4．滤波电路302

8.4.5．低通滤波器304

8.4.6．高通滤波器307

8.4.7．无失真低通滤波器308

8.4.8．负反馈放大器。关于稳定的奈奎斯特判别准则。用极点位置的方法来判别稳定310

8.4.9．由开关的断路或短接所引起的过渡现象的计算314

电扰动沿传输线的传播318

8.4.10．概述318

8.4.11．无穷长线或终端接特性阻抗的线路323

8.4.12．无损耗线324

8.4.13．无失真的线324

8.4.14．地下电缆325

8.4.15．完全绝缘的传输线325

8.4.16．一般情形。任意的传输线327

8.4.17．有限长的传输线329

8.4.18．漏电及自感都可忽略的传输线（地下电缆）有一端短接的情形330

8.4.19．终端接一个电阻的有限长的无损耗传输线332

8.4.20．在起点有一个阻抗的情况335

8.4.21．传输线中有障碍336

8.4.22．热的传导337

8.5．运算微积的数学应用340

8.5.1．应用运算微积计算定积分∫？h(t)dt，∫？？dt，340

∫？tnh(t)dt340

应用运算微积解线性微分方程344

8.5.2．常系数线性微分方程344

8.5.3．代数变元系数的线性微分方程〔范德波尔方法〕347

应用运算微积解某些积分方程350

8.5.4．线性积分方程350

8.5.5．非线性积分方程352

8.5.6．积分微分方程353

8.5.7．应用运算微积研究函数354

8.5.8．在求渐近级数展开式中的应用359

8.6．注 解362

8.6.1．关于亥维赛运算微积的注362

8.6.2．运算微积中的符号364

8.6.3．参考文献365

第九章 概率论及其应用367

9.1．随机变量367

9.1.1．概率的定义367

9.1.2．独立事件。概率的乘法定理368

9.1.3．互斥事件。概率的加法定理369

9.1.4．斯蒂林公式370

分布372

9.1.5．不连续分布372

9.1.6．连续分布374

9.1.7．特征函数376

9.1.8．两个随机变量的分布377

9.1.9．独立随机变量之和的特征函数379

一些基本的分布规律380

9.1.10．二项律380

9.1.11．二项律的特征函数382

9.1.12．拉普拉斯公式。高斯分布律384

9.1.13．拉普拉斯—高斯律的特征函数388

9.1.14．贝尔努利定理388

9.1.15．关于二项律过渡到正态律的注389

9.1.16．泊松分布律390

9.1.17．泊松律的特征函数及矩391

9.1.18．在自动电话问题中的应用392

9.1.19．观察数据与理论概率分布的配合。格兰姆—却里尔展开式401

9.1.20．正态分布的特殊情形403

测量误差及最小二乘方405

9.1.21．测量误差及正态分布405

9.1.22．最小二乘方原理407

9.1.23．误差的线性组合408

9.1.24．综合测量的精确度409

9.1.25．精确度参数的最可能值410

9.1.26．观察的权412

9.1.27．错误观察值的判别412

9.1.28．函数的概差413

9.1.29．经验公式413

9.2．随机函数概念416

9.2.1．随机函数概念导论416

9.2.2．分布函数421

收敛问题425

9.2.3．引言425

9.2.4．贝尔努利意义下的收敛426

9.2.5．概率收敛426

9.2.6．均方收敛428

9.2.7．殆必收敛431

平稳随机函数：稳态的研究432

9.2.8．引言432

9.2.9．二阶矩研究。定义434

二阶平稳随机函数的一般性质436

9.2.10．相关函数436

9.2.11．连续性。可导性438

9.2.12．能谱441

9.2.13．线性系统的能量传输448

9.2.14．二阶相关函数研究中的不足之处453

拉普拉斯-高斯平稳随机函数。在散弹效应上的应用455

9.2.15．概述455

9.2.16．现象的时间关系460

9.2.17．非线性系统中的起伏461

9.2.18．计算受直流散弹效应影响的线性放大器输出端的相关函数464

9.3.1．参考文献467

第十章 图解及数值计算468

10.1．代数及超越方程的解468

10.1.1．图解468

10.1.2．牛顿近似方法及比例近似方法469

10.1.3．叠代法472

10.1.4．两个联立方程的近似解法475

10.2．代数方程的解480

10.2.1．一个数的n次根的数值解480

10.2.2．三次及四次方程式的数值解481

10.2.3．霍尔诺方案484

10.2.4．列耳作图486

10.2.5．拉格朗日法487

10.2.6．格拉也夫-旦达林法488

10.2.7．巴尔斯托方法499

10.3．函数之逼近501

用多项式逼近函数501

10.3.1．引言501

10.3.2．不规则分布的自变量。拉格朗日插值多项式502

10.3.3．等差级数分布的自变量。差分表506

插值多项式509

10.3.4．牛顿插值多项式509

10.3.5．斯蒂林插值多项式512

10.3.6．贝塞耳插值多项式514

10.3.7．牛顿、贝塞耳、斯蒂林插值公式的应用范围516

10.3.8．牛顿、斯蒂林及贝塞耳插值公式的误差上限517

10.3.9．用由最小二乘方判据所确定的函数线性组合作逼近517

10.3.10．用由最小二乘方判据所确定的多项式作逼近518

用傅里叶展开式的有限项作逼近。调和分析525

10.3.11．按解析式给定的函数525

10.3.12．经验函数526

10.3.13．实用的计算步骤528

10.3.14．用指数函数的线性组合逼近经验函数532

10.3.15．切贝雪夫逼近法536

10.3.16．关于函数逼近的附注539

10.4．导数的数值计算540

10.5．函数积分的数值计算543

10.5.1．贝尔努利数543

10.5.2．贝尔努利多项式545

10.5.3．欧拉公式547

10.5.4．梯形公式552

10.5.5．辛普森公式553

10.5.6．韦德尔公式555

10.5.7．格雷果里公式556

10.5.8．牛顿-柯脱斯、切贝雪夫、高斯方法558

10.5.9．牛顿-柯脱斯法559

10.5.10．切贝雪夫法562

10.5.11．高斯法564

10.5.12．牛顿插值多项式的使用566

10.5.13．例外情形568

10.6．微分方程的近似解570

10.6.1．引言570

10.6.2．一阶微分方程的近似解571

10.6.3．泰勒级数法572

10.6.4．亚当法574

10.6.5．一个便捷的方法583

10.6.6．龙格及库塔法585

10.6.7．一阶微分方程组的近似解589

10.6.8．泰勒展开法590

10.6.9．牛顿降幂插值多项式法590

10.6.10．皮卡尔方法592

10.7．矩阵数值计算。应用595

10.7.1．一个矩阵分解成两个三角矩阵的乘积595

10.7.2．在求解一阶方程组方面的应用596

10.7.3．三角矩阵的逆矩阵600

10.7.4．一个矩阵的逆矩阵604

10.7.5．分解成三角矩阵的特殊情况。对称矩阵的情况604

10.8．微分方程的图解法607

10.8.1．一阶微分方程。等斜线法607

10.8.2．用曲率半径方法作二阶微分方程的图解611

10.9．偏微分方程的数值解613

10.9.1．平面问题613

10.9.2．回转问题618

10.10．诺谟图620

10.10.1．引言620

10.10.2．定义620

10.10.3．直线点列诺谟图623

10.10.4．三条平行直线诺谟图624

10.10.5．两条平行直线及一条曲线的诺谟图628

10.10.6．N形诺谟图630

10.10.7．两条曲线及一直线的诺谟图631

10.10.8．W形诺谟图632

10.10.9．Z形诺谟图634

10.10.10．三条曲线诺谟图634

10.10.11．复合诺谟图635

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