《福里哀级数》求取 ⇩

第一章 福里哀三角级数9

1.周期函数9

2.谐量10

3.三角多项式和三角级数14

4.术语的明确说明。可积性。函数项级数15

5.基本三角函数系。正弦馀弦的正交性19

6.周期是2π的函数的福里哀级数21

7.在长度为2π的区间上给出的函数的福里哀级数24

8.函数在一点处的左右极限。第一种间断点26

9.滑溜函数和逐段滑溜函数27

10.福里哀级数收敛准则29

11.奇函数和偶函数30

12.馀弦级数和正弦级数32

13.展成福里哀级数的例子34

14.福里哀级数的复数形式41

15.周期是2ι的函数43

1.定义。标准系51

第二章 正交系51

2.按已知正交族展开的福里哀级数52

3.最简单正交系的例子53

4.平方可积函数。蒲仰可夫斯基不等式60

5.平方偏差。它的最小值62

6.贝塞尔不等式和它的推论63

7.完备系。在均值意义下的收敛性64

8.完备系最重要的性质67

9.完备系的判别准则69

10.与矢量类比71

第三章 福里哀三角级数的收敛性74

1.贝塞尔不等式和它的推论74

2.三角积分∫？t(x)cos nxdx和∫？t(x)sin nxdx当n→∞时的极限75

3.馀弦和式的公式。辅助积分79

4.福里哀级数部份和的积分公式80

5.左右导数81

6.在函数连续点处福里哀级数收敛的充分条件83

7.在函数间断点处福里哀级数收敛的充分条件84

8.在§§6，7建立的充分条件的推广86

9.逐段滑溜(连续或不连续)函数的福里哀级数的收敛87

10.周期是2x的连续逐段滑溜函数的福里哀级数的绝对收敛性和均匀收敛性87

11.周期是2x而具有绝对可积导数的连续函数的福里哀级数的均匀收敛性90

12. §11结果的推广94

13.局部性原理98

14.无界函数展成福里哀级数的例子100

15.关于周期是2ι的函数的附注103

第四章 系数递减的三角级数。某些级数求和法104

1.亚倍尔预准定理104

2.正弦和式的公式。辅助不等式105

3.系数单调递减的三角级数的收敛性106

4. §3定理的一些推论110

5.复变函数对于一些三角级数求和法的应用113

6. §5结果的严格讨论116

1.用三角多项式近似表示函数124

第五章 三角函数系的完备性。福里哀级数的运算124

2.三角函数系的完备性126

3.辽普诺夫公式。三角函数系完备性的重要准论127

4.用多项式逼近函数129

5.福里哀级数的加减法。它与数字的乘法131

6.福里哀级数乘法132

7.福里哀级数的积分法134

8.福里哀级数的微分法。周期是2π的连续函数的情形138

9.福里哀级数的微分法。函数在区间［-π，π］上给出时的情形141

10.福里哀级数的微分法。函数在区间［0，π］上给出时的情形146

11.福里哀级数收敛性的改善153

12.三角函数展式表158

13.福里哀系数的近似计算161

第六章 福里哀三角级数定和法167

1.问题的提出167

2.算术均值法167

3.福里哀级数部份和的算术均值的积分公式169

4.福里哀级数用算术均值法定和170

5.幂因子法175

6.泊阿松核176

7.幂因子法在福里哀级数定和时的应用176

第七章 二重三角级数。福里哀积分184

1.双变量正交系。福里哀级数184

2.变双量的基本三角函数系。二重福里哀级数186

3.二重福里哀三角级数部份和的积分公式。收敛准则189

4.对x和对y具有不同周期的函数的二重福里哀级数191

5.福里哀积分作为福里哀级数的极限192

6.依赖于参数的广义积分194

7.两个预备定理197

8.福里哀积分公式的证明200

9.福里哀积分的各种形式201

10.福里哀变换203

第八章 贝塞尔函数207

1.欧拉-贝塞尔方程207

2.具非负指标的第一种贝塞尔函数207

3.关于T-函数211

4.具负指标的第一种贝塞尔函数212

5.欧拉-贝塞尔方程的一般积分214

6.第二种贝塞尔函数214

7.相异指标的贝塞尔函数间的关系216

8.具有形如p=？(n是整数)指标的第一种贝塞尔函数218

9.贝塞尔函数的渐近公式219

10.贝塞尔函数和有关函数的根224

11.带参数的欧拉-贝塞尔方程226

12.函数Jp(λX)的正交性227

13.积分∫？xJ？(λx)dx的计算230

14.积分∫？xJ？(λx)dx的估计231

第九章 贝塞尔函数作成的福里哀级数234

1.福里哀-贝塞尔级数234

2.福里哀-贝塞尔级数的判敛准则235

3.贝塞尔不等式和它的推论237

4.保证福里哀-贝塞尔级数一致收敛的系数的阶238

5.二次可微函数的福里哀-贝塞尔系数的阶242

6.多次可微函数的福里衣-贝塞尔系数的阶245

7.福里哀-贝塞尔级数的逐项微分248

8.第二频的福里哀-贝塞尔级数251

9.？？3--7的结果在第二类福里哀-贝塞尔级数的推广254

10区间［0，ι］上给出的函数的福里哀-贝塞尔级数展式256

第十章 解决若干数学物理问题的特征函数法259

1.方法的实质259

2.边界问题的通常的提法264

4.特征函数；它们的正交性265

3.关于特征值的存在问题265

5.关于特征值的正负号268

6.接特征函数展开的福里哀级数269

7.特征函数的方法实际上一定可以引向问题的解决吗？273

8.广义解276

9.非齐次问题279

10.总结281

第十一章 应用283

1.弦振动方程283

2.弦的自由振动284

3.弦的强迫振动288

4.枢轴纵振动方程290

5.枢轴的自由振动292

6.枢轴的强迫振动295

7.矩形膜振动296

8.圆形膜沿半径的振动302

9.圆形膜的振动(一般情形)306

10.枢轴上热扩散方程311

11.枢轴两端保持温度为零时热的扩散312

12.枢轴两端保持常温时热的扩散314

13.枢轴两端为已知变化温度时热的扩散315

14.在枢轴两端与周围介质有自由交流发生时热的扩散316

15.无界枢轴热的扩散321

16.圆柱面上的热扩散；表面绝热的情况326

17.圆柱面内部的热扩散；在表面上与外界介质有热交流的情况328

18.圆柱内的热扩散；温度稳定的情况329

索引332