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第一章 数学美学是一门新兴学科1

序(一) 【英】大卫·威尔斯1

第一节什么是美?2

一、从词源学中来寻觅美的含义2

序(二) 【美】孙述寰3

二、什么是广义的美?3

三、古希腊人对于美的定义3

四、我国美学界对于美的定义问题所进行的新探索3

作者自序4

第二节什么是美学?4

二、“Aesthetios”一词的含意5

一、“Aesthetik”一词的来源5

三、中国古代美学的渊源6

四、近代应用美学的崛起7

第三节 古希腊数学家已经从数学中认识到美、和谐、简单、明确以及秩序的存在7

第四节 世界知名数学家论数学理论的美学标准15

一、英国数学家罗素的美学标准15

二、美国数学家布克豪夫的美学标准16

三、英国数学家哈代的美学标准17

四、美国数学家哈尔莫斯的美学标准18

五、英国数学家阿蒂亚的美学标准19

第五节 数学理论美学标准的基本要素19

第六节 数学理论中真善美的辩证统一30

第二章数学在古希腊时代被人们珍视为一门艺术33

第一节 毕达哥拉斯对于数学理论美学标准的研究34

一、费尔马大定理的来龙去脉37

二、费尔马小定理和似质数40

三、一个不幸的费尔马猜想41

四、音乐数学的起始42

第二节 德谟克利特对于数学理论美学标准的研究43

第三节 柏拉图对于数学理论美学标准的研究47

第四节 亚里斯多德对于数学理论美学标准的研究48

第五节 欧几里得对于数学理论美学标准的研究51

一、黄金数的定义及其美学价值58

第六节 神赐的比例——黄金分割58

二、黄金数的推广及其实际应用61

第三章中国古代数学的美学特征以及当时著名美学家兼数学家对于数学发展的贡献67

第一节 中国古代数学基本上属于应用数学体系68

第二节 中国古代数学的演算程序简捷而巧妙70

第三节 中国古代数学的推理具有鲜明的逻辑严谨性73

第四节 易图的数学结构76

一、对于易图的二进制解释77

二、对于易图的组合论解释80

三、对于易图的代数学解释80

四、对于易图的几何学解释80

五、对于易图的矩阵论解释81

第五节 数学家亦称“洛书”是一个三阶幻方82

一、构造幻方的罗伯法85

二、构造幻方的行列交会法86

第六节 《易传》的简单美87

第七节 墨翟的美学观点与墨氏几何学89

第八节 庄周的美学思想与他在数学上的无限观90

第四章文艺复兴以后一些著名数学家兼美学家对于数学理论美学标准的研究92

第一节 达·芬奇与帕乔里对于数学理论美学标准的研究93

第二节 笛卡尔对于数学理论美学标准的研究95

一、笛卡尔创立解析几何理论是为了寻觅两个对象间恰到好处的协调95

二、笛卡尔认为数学家的任务是努力以美的形式去描绘宇宙的发展规律98

三、笛卡尔开创了科学研究艺术上的全新时代100

第三节 莱布尼兹对数学理论美学标准的研究101

一、莱布尼兹提出了关于数学真理的“清晰明白”的美学标准102

二、莱布尼兹和牛顿异地同时发现了微积分正是和谐美的体现，并且也反映出这种发现与其各自美学标准的深刻联系103

三、莱布尼兹认为数学家选择数学符号是为了最大限度地减少人们的思维劳动106

四、数学符号是别具一格的“世界语”107

第五章数学家关于纯粹数学美与应用数学美之争辩111

第一节 数学家谈纯粹数学之美113

一、纯粹数学在发展过程中总是和谐相关的115

1.从初中代数一个定理谈起115

2.欧拉的新发现116

3.拉格朗日对费尔马定理的证明116

4.刘维尔利用费尔马定理获得了新结果121

二、高等学校数学教育中的“老三高”和“新三高”是纯粹数学的支柱122

1.“新三高”美在哪里?123

2.“老三高”美在哪里?125

3.帕斯卡定理的推广130

三、纯粹数学这棵大树的枝杈总是向着奇异的方向蔓延132

1.模糊数学亦然具有极大的精确性132

2.非标准分析是分析理论的新结构133

3.突变理论一时间风靡世界134

四、离散数学的兴起是现代纯粹数学发展的另一特点135

1.中科院数学所所长王元谈纯粹数学135

2.四色猜想的计算机证明是否意味着纯粹数学优美时代的结束136

第二节 数学家谈应用数学之美137

一、信息论、控制论及其在数学教育中的应用139

二、图灵与图灵机140

第三节 著名物理学家谈数学美140

第六章数学家的乐园——无限144

第一节 康托把无限理论发展到令人眩晕的高度145

第二节 嘲讽和攻击丝毫抹煞不了真理的光辉155

第三节 无限终于“被关进了数学家的笼子”156

第四节 潜无限论与实无限论之争辩157

第七章数学大厦的裂缝——悖论159

第一节 悖论乃是不把自相矛盾的真相摆在桌面上160

一、诉讼师悖论160

二、上帝全能悖论160

第二节 悖论的古典定义以及对若干古典悖论的分析161

三、唐·吉诃德悖论161

一、芝诺悖论162

二、撒谎者悖论163

三、伽利拉宜悖论163

第三节 悖论的现代定义以及当前学术界流行的一些与此相等价的悖论定义164

第四节 悖论在数学基础研究中所产生的深远影响165

一、罗素悖论165

二、罗素——策墨略悖论166

三、康托悖论167

第五节 由悖论而引起的三次数学危机168

一、希伯索斯悖论与数学发展史上的第一次危机168

二、贝克莱悖论与数学发展史上的第二次危机169

三、罗素悖论和数学发展史上的第三次危机171

第六节 由悖论而导致的三大数学学派的激烈争辩以及他们各派所坚持的美学标准172

一、逻辑主义学派认为数学美表现为一首逻辑概念的诗篇172

二、直觉主义学派认为数学美在于构造性程序清楚174

三、形式主义学派认为数学美在于形式上的简单与相容175

第七节 数学理论体系至今尚未实现最终的完美与和谐177

第八节 悖论破释在数学教育以及企业管理和社会生活中的效应178

一、悖论破释在数学教育中的效应178

二、悖论破释在企业管理和社会生活中的效应181

第八章数学公理的美学标准183

第一节 数学公理化方法的本质184

第二节 建立数学理论系统的抽象思维方法186

第三节 数学公理学的分类189

一、数以千计的数学家参与试证第五公设最后都以失败而告终189

二、巴许和皮阿诺的工作与希尔伯特的名著相比只差一步之遥190

第四节 希尔伯特论数学公理的美学标准192

一、希尔伯特认为数学公理是关于基本概念的隐定义192

二、希尔伯特第一次所构造的几何空间是一个多孔空间194

三、欧氏几何与非欧几何在公理系统上仅仅是一字之差195

四、苏联数学家Н·В·叶非莫夫所提出的关于公理系统的三个基本问题实际上就是数学公理的美学标准196

第五节 希尔伯特设计公理系统的妙诀是极力追求数学的简单美199

一、什么叫做公理系统的独立性?199

二、数学家追求公理系统的简单美已具有悠久的历史199

三、我国中学几何的公理系统与希氏系统之比较200

四、要从整体上来欣赏希氏系统的简单美202

五、证明几个“不证自明”的命题203

第六节 布尔巴基学派的结构主义是对数学公理化方法的进一步发展208

一、布尔巴基学派更加强调数学公理化的美学标准210

二、布尔巴基学派所面临的新困难正好体现出数学公理化方法的局限性211

第七节 韦尔系统与索克评论212

一、韦尔思想与韦尔系统213

二、法国数学家索克对于中学几何公理的评论216

第八节 数学公理化方法的应用价值216

第九章数学模型的美学标准218

第一节 建立数学模型时要广泛应用数学抽象法219

二、哥尼斯堡七桥问题是应用数学抽象法的典范220

一、理想化抽象可以使数学家获得足够精确的结果220

三、数学模型在中学解题理论教学中的应用222

第二节 数学模型的分类228

一、描述性数学模型的特征及其分类229

二、确定性数学模型的应用范围较广229

第三节 描述性数学模型所体现的数学简单美231

第四节 利用解释性数学模型来阐明数学公理系统的和谐美233

一、庞卡莱模型233

二、球面模型236

第五节 利用解释型数学模型来阐明数学公理系统的简单美238

一、证明皮阿诺自然数公理系统的独立性239

二、皮阿诺自然数公理系统的简化形式以及与其相等价的新系统242

三、证明希尔伯特欧氏几何公理系统的独立性243

第六节 利用解释性数学模型来证明公理系统的完备性244

一、现代数学的特征之一是从研究完备的公理系统所确定的对象转向研究其公理系统不完备的对象245

二、证明韦尔欧氏几何公理系统的完备性245

三、证明黎氏几何公理系统的完备性246

第十章数学教学的审美观248

第一节 在数学教育的全过程中都要重视审美教育249

第二节 充分利用与发挥数学教学表达形式的形式美251

第三节 深入挖掘数学教学内容所固有的美253

一、对于数学教育内容的表达要侧重于数学思维方法的分析与诱导254

二、美国控制论专家维纳提出学校教育要灌输新颖美好的东西255

三、欧几里得提出在几何学中是没有王者所走的康庄大道的255

四、在数学教育中要重视对称变换在解题中的应用257

五、在数学教育中要注意对数学题巧施变形260

六、在数学教育中要注意优化解题步骤262

七、在数学教育中要注意奇异常数在解题中的妙用266

第十一章数学研究的审美观271

第一节 数学发明即是选择与识别273

一、选择的主要标准就是对于美的渴望274

二、选择的标准之一是追求简单性276

三、选择的另一标准就是寻求差异性278

第二节 数学研究中的直觉思维与无意识活动279

一、法国数学家庞卡莱论直觉思维280

三、数学直觉的审美观281

二、法国数学家笛卡尔论直觉思维281

四、法国数学家庞卡莱论无意识活动284

五、梦境也是一种无意识活动284

六、如何发掘与利用无意识活动285

附录289

Ⅰ参考文献289

Ⅱ 注释291

Ⅲ 美国数学家孙述寰教授为本书作序原文316

Ⅳ 英国数学家大卫·威尔斯教授为本书作序原文317

Ⅴ 希腊字母表320

Ⅵ 质数表320

Ⅶ 外国数学家人名索引321