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第一章引言1

1.1 科学计算的任务和特点1

一、用计算机解决实际问题1

二、数值计算方法的特点2

1.2 计算机中数的表示4

一、数字式计算机中数的表示4

二、计算机的浮点数系5

1.3 误差6

一、误差的来源6

二、误差的基本知识7

三、浮点运算和舍入误差8

1.4 条件问题和算法的数值稳定性10

一、条件问题10

二、数值稳定性12

一、三角形方程组及其解法14

2.1 Gauss消去法14

第二章解线性方程组的直接法14

二、Gauss顺序消去法16

三、主元素消去法23

2.2 矩阵的三角分解33

一、矩阵三角分解的意义和形式33

二、矩阵的Crout分解35

三、矩阵的Doolittle分解39

四、解三对角线方程组的追赶法45

五、带状对角型线性方程组的列主元消去法48

2.3 正定矩阵的Cholesky分解53

一、正定矩阵的三角分解53

二、正定矩阵的LLT分解54

三、正定矩阵的LDLT分解57

2.4 矩阵求逆和行列式计算60

一、Gauss-Jordan消去法60

二、用Gauss-Jordan消去法解方程组集65

三、用Gauss-Jordan消去法求矩阵的逆69

四、行列式计算71

2.5 向量和矩阵范数74

一、向量范数74

二、矩阵范数76

2.6 计算解的精确度问题79

一、方程组右端项误差对解的影响和矩阵的条件数79

二、系数矩阵误差对解的影响80

三、计算解的误差估计81

四、解的迭代改善84

第三章解线性方程组的迭代法88

3.1 解线性方程组迭代法的一般理论88

一、向量和矩阵序列及其收敛性88

二、一般迭代格式的构造89

三、迭代的收敛问题90

一、迭代格式92

3.2 Jacobi迭代92

二、Jacobi迭代的收敛问题96

3.3 Gauss-Seidel迭代98

一、迭代格式98

二、Gauss-Seidel迭代收敛问题101

3.4 松弛迭代102

一、迭代格式102

二、迭代的收敛问题105

3.5 共轭斜量法107

一、线性方程组和函数的极小化问题107

二、共轭斜量法111

第四章插值法119

4.1 插值的基本概念119

一、问题的提出119

二、插值119

三、插值函数的存在唯一性120

一、多项式插值122

4.2 多项式插值及其Lagrange形式122

二、多项式插值的Lagrange形式123

三、多项式插值的余项126

四、逐次线性插值128

4.3 多项式插值的Newton形式135

一、Newton插值多项式135

二、差商136

三、等距Newton插值141

4.4 Hermite插值149

一、Hermite插值的定义149

二、Hermite插值多项式的构造150

4.5 三次样条插值154

一、多项式插值的局限性154

二、三次样条插值函数和连续性方程155

三、端点约束条件158

四、样条插值函数的极性和收敛性161

五、三次样条函数的矩阵表示163

六、应用程序165

4.5 双三次样条函数和样条曲面177

一、双三次样条函数的定义177

二、双三次样条插值问题178

三、双三次样条函数在子矩形上的表示179

四、双三次样条插值函数的计算过程180

第五章数据拟合182

5.1 引言182

5.2 线性最小二乘法183

一、超定方程组和法方程组183

二、多项式拟合184

三、多变元线性拟合190

四、线性拟合的推广194

一、法方程组的条件问题198

二、Gram-Schmidt方法198

5.3 正交化方法198

三、Householder变换204

四、正交多项式方法210

5.4 矩阵的奇异值分解和极小最小二乘解217

一、矩阵的奇异值分解217

二、矩阵奇异值分解的计算方法219

三、极小最小二乘解226

一、B样条曲线的数学表示230

5.5 B样条曲线230

二、三次B样条曲线232

三、B样条曲线的几何性质236

四、三次B样条的几个有用典型236

5.6 Fourier级数和快速Fourier变换238

一、最佳平方三角函数逼近238

二、Fourier变换242

三、快速Fourier变换245

一、用差商近似代替微商257

第六章数值微分和数值积分257

6.1 数值微分257

二、用插值多项式求数值微商258

三、用样条插值函数求数值微商260

6.2 数值积分的基本概念262

一、研究数值积分的必要性262

二、数值积分的基本思想262

三、求积公式的代数精确度263

6.3 Newton-Cotes公式265

一、Newton-Cotes公式的形式265

二、Newton-Cotes公式的误差270

三、Newton-Cotes公式的收敛性和数值稳定性273

6.4 复化公式和区间逐次半分法274

一、复化公式274

二、复化公式的误差276

三、区间逐半分法和误差的事后估计278

四、实用程序279

一、数值方法中的加速收敛技巧283

6.5 外推法和Romberg积分283

二、Richardson外推法284

三、Romberg积分法285

6.6 自适应Simpson积分法289

一、数值积分的自适应问题289

二、自适应Simpson算法290

6.7 Gauss型求积公式294

一、Gauss型求积公式的一般形式294

二、求积公式的余项和数值稳定性297

三、Gauss-Legendre求积公式299

四、Gauss-Chebyshev求积公式306

五、Gauss-Laguerre求积公式309

六、Gauss-Hermite求积公式313

7.1 矩阵特征值的估计318

一、圆盘定理318

第七章矩阵特矩值问题318

二、圆盘定理的应用322

7.2 幂法和反幂法324

一、幂法324

二、反幂法334

三、矩阵收缩337

四、用幂法和反幂法求实对称矩阵的特征值问题347

7.3 Jacobi方法352

一、实对称矩阵和旋转相似变换352

二、Jacobi方法355

三、Jacobi方法的收敛性360

7.4 实对称矩阵的Givens-Householder方法361

一、实对称矩阵的三对角化361

二、计算特征值的二分法364

三、特征向量的计算367

四、Givens-Householder方法程序367

7.5 QR方法375

五、实对称三对角矩阵次对角元有零元素情形375

一、QR方法及其收敛性376

二、Hessenberg矩阵及其QR分解378

三、Hessenberg矩阵的QR算法384

四、带原点位移的QR算法389

五、双重步QR算法395

第八章非线性方程数值解法404

8.1 实根的搜索404

一、逐步搜索法404

二、区间二分法405

8.2 迭代法的一般理论408

一、Picard迭代和压缩映射409

二、Picard迭代的误差估计和收敛性412

三、Picard迭代的加速收敛414

8.3 Newton迭代417

一、Newton法417

二、Newton法的变形421

三、Newton法的重根处理422

四、用反函数构造单点迭代函数426

8.4 多点迭代法427

一、插值和多点迭代法的构造428

二、弦位法429

三、特殊的弦位法433

四、抛物线法（Müller公式）438

五、用导数估计建立多点迭代公式443

一、直接用公式求根446

8.5 多项式方程求根446

二、Newton法455

三、Bernoulli方法460

四、林士谔－Baistow方法468

第九章非线性方程组的迭代解法476

9.1 预备知识476

一、非线性方程组数值解法概述476

二、多元函数的可微性477

三、多元向量函数的可微性478

四、多元函数和多元向量函数的二阶导数479

9.2 简单迭代法480

一、简单迭代法的构造480

二、简单迭代法的收敛性481

9.3 解非线性方程组的Newton法483

一、Newton法迭代公式483

二、Newton迭代法收敛定理483

三、Newton迭代法的变形485

四、实用程序489

9.4 割线法498

一、多元向量函数线性插值499

二、割线法的一般讨论500

三、几种具体的割线法501

四、关于收敛问题504

五、割线法程序504

一、拟Newton法的一般讨论510

9.5 拟Newton法510

二、Broyden方法512

三、D-F-P和B-F-S算法514

四、拟Newton法实用程序517

9.6 最速下降法和共轭斜量法526

一、最速下降法527

二、共轭斜量法532

一、Euler方法的导出及其几何意义537

10.1 Euler方法537

第十章常微分方程初值问题的数值解法537

二、误差分析539

三、Euler方法的变形541

四、稳定性分析545

10.2 Runge-Kutta方法546

一、Taylor级数和Runge-Kutta方法546

二、显式Runge-Kutta方法548

三、隐式Runge-Kutta方法555

四、单步法的误差估计和变步长Runge-Kutta方法563

10.3 线性多步法568

一、Adams显式公式568

二、Adams隐式公式570

三、出发值的计算572

四、隐式公式的迭代解法572

10.4 预测－校正方法576

一、预测－校正方法的基本形式577

二、Milne方法581

三、Hamming方法582

10.5 数值方法的相容性、收敛性和稳定性586

一、单步法的相容性和收敛性586

二、线性多步法的相容性和收敛性588

三、渐近稳定性589

四、绝对稳定性590

10.6 方程组和刚性方程594

一、一阶常微分方程组初值问题594

二、高阶常微分方程初值问题603

三、刚性方程组606

第十一章常微分方程边值问题数值解法619

11.1 解边值问题的差分方法619

一、线性方程的差分方法620

二、非线性方程的差分方法625

11.2 打靶法632

一、线性方程边值问题分析632

二、线性方程边值问题打靶法633

三、非线性方程边值问题打靶法638

11.3 边值问题的样条函数解法644

11.4 特征值问题650

一、Sturm-Liouville问题650

二、特征值问题的差分方法652

附录AC语言屏幕绘图659

附录B屏幕图形拷贝675

附录C程序索引685