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目 录1

绪论1

科学计算过程1

近似数与误差1

1．误差的来源（2） 2．误差的大小与近似数的精度3

3．近似数的四则运算（5） 4．数字计算机的字长与固有误差6

习题8

第一章插值与逼近9

引言9

1·1 Lagrange插值10

1．线性插值（10） 2．抛物线插值（12） 3．Lagrange插值13

4．插值多项式的余项一误差估计（14） 习题1·116

1·2 Newton插值17

1．差商概念（17） 2．差商的性质（18） 3．Newton插值公式19

习题1·221

1·3等距节点插值22

1．差分概念（22） 2．Newton前插公式（24）3．Newton后27

插公式（26） 习题1·327

1·4 样条插值27

序设计要点（30） 习题1·432

1．三次样条插值（27） 2．公式推导（28） 3．计算步骤与程32

1·5最小二乘曲线拟合33

1．回归直线（33） 2．回归多项式曲线（34） 3．经验曲线36

4．最小二乘曲线拟合的一般理论（38） 习题1·541

1·6 正交多项式与均方逼近41

1．正交多项式概念（41） 2．均方逼近（45） 习题1·647

1·7 通用程序设计48

1．一元三点分段插值通用程序（48）2．一元两点分段插值通用程序50

3．一元n点全区间插值（50）4．回归直线与经验曲线51

引 言52

第二章数值积分52

2·1 Newton—Cotes求积公式53

1．Newton—Cotes求积的一般公式（53） 2．常用求积公式54

3．复合求积公式（56） 习题2·157

2·2变步长求积算法58

1．变步长梯形公式（58） 2．变步长Simpson公式59

3．Romberg算法（60） 习题2·263

2·3 Gauss求积公式63

1．区间〔-1,1〕上两点Gauss公式（63） 2．Gauss求积的一般理69

论（64）3．区间〔a,b〕上的Gauss求积算法（67）习题2·369

2·4 二重积分及广义积分的数值方法69

1．矩形区域上的二重积分（69） 2．奇异积分的计算70

3．无穷积分的计算（72） 习题2·474

2·5通用程序设计75

1．定步长Simpson求积（75） 2．变步长求积——Romberg算法75

3．自适步长Gauss求积（76） 4．变限多重积分的Gauss求积79

第三章线性代数方程组的数值解法84

引 言84

3·1 消去法85

元消去法（90） 4．Gauss—Jordan消去法（91）习题3·192

3·2矩阵的三角分解92

1．Gauss消去法（85）2．Gauss列主元消去法（88）3．Gauss全主92

1．Gauss消去法与系数矩阵的三角分解（93） 2．LU分解的条件95

3．LU分解的算法（96） 4．LDV分解（97） 习题3·299

3·3 基于矩阵分解的特殊方程组解法99

1．实对称方程组的Cholesky方法（99）2．实对称正定方程组的平103

方根法（101） 3．三对角方程组的追赶法（102） 习题3·3103

3·4 消去法的误差分析103

1．向量范数（103） 2．方阵范数（105） 3．消去法的误差分析112

——摄动理论（107） 4．实用的办法（111） 习题3·4112

3·5 线性迭代法112

矩阵表示（115） 4．松弛法（116） 习题3·5117

1．Jacobi迭代法（112） 2．Seidel迭代法（114） 3．迭代法的117

3·6 迭代法的收敛性118

1．基本收敛定理（118） 2．系数矩阵的可约性与对角占优120

3．迭代法收敛性判定法（121） 习题3·6121

3·7非线性迭代法122

1．线性方程组求解的等价问题（122） 2．最速下降法123

习题3·7125

3·8通用程序设计125

1．Gauss--Jordan列主元消去法（125） 2矩阵求逆与行列式求值127

法128

3．实对称方程组的Cholesky方法（128） 4．大型稀疏方程组的解128

第四章非线性方程和方程组的数值解法132

引 言132

4·1 根的分离132

1．简单的方法——画图与试探（132） 2．代数方程根模的上下界133

3．实系数代数方程实根的分离方法（136） 习题4·1137

4·2实根的加细方法138

1．平分法（138） 2．Newton迭代法（139）3．线性插值法141

习题4·2141

4·3 求高次代数方程全部根的劈因子法142

1．Bairstow方法的推导（142） 2．程序设计要点与框图144

4·4 非线性方程组的数值解法145

习题4·3145

1．Newton迭代法（145） 2．最速下降法（148）3．Newton迭152

代法与最速下降法的联合使用（151） 习题4·4152

4·5通用程序设计152

1．用平分法求区间〔a、b〕内全部单重实根（152） 2．求代数方程全153

部根（152）3．求解非线性方程组153

第五章代数特征值问题的数值方法158

引言与予备知识158

5·1 实对称矩阵的Jacobi方法159

5·2 化实对称矩阵为相似的三对角对称矩阵165

1．旋转矩阵（159） 2．Jacobi方法（162）3．Jacobi方法的计165

算步骤与程序设计要点（164） 习题5·1165

1．反射变换（165） 2．用反射变换化对称阵为相似的三对角对称阵167

3．算法的简化（170） 习题5·2171

5·3三对角对称矩阵的特征值172

1．序列｛Pi（λ）｝的Sturm性质（173） 2．Pn（λ）根的隔离175

3．特征值计算（176） 习题5·3177

5·4 实对称矩阵特征值问题的Householder方法177

1．三对角对称阵特征向量的求法（178）2．对称阵A的特征向量算法180

3．Householder方法的推广（183） 习题5·4184

5·5 乘幂法与压缩法185

1．乘幂法（185） 2．乘幂法的困难（187） 3．加速收敛189

4．压缩法（190） 习题5·5191

5·6 通用程序设计——Householder方法191

第六章常微分方程数值解法196

引 言196

6·1 离散化方法197

1．数值微分法（197） 2．数值积分法（198）3．Taylor展开法199

4．几个基本概念（200） 习题6·1201

6·2 Euler方法的改进201

1．改进Euler法——梯形法则（202） 2．予测校正法202

6·3 Runge—Kutta法205

3．一次校正法（204） 习题6·2205

1．一次予测校正算法的精度（205） 2．二阶Runge—Kutta法206

3．三阶Runge—Kutta法（207） 4．四阶Runge—Kutta公式208

习题6·3209

6·4 线性多步法209

1．Adams外推法（210） 2．Adams内插法（212） 3．Adams214

外推法与内插法的联合使用（213） 习题6·4214

6·5收敛性与稳定性问题214

1．常微分方程组初值问题来源及一般形式221

6·6 常微分方程组初值问题的数值解法221

算精度的方法（220） 习题6·5221

收敛性（217） 3．初值问题的稳定性（218） 4．实际保证计221

1．单步法的收敛性问题（215） 2．标准四阶Runge—Kutta方法的221

2．数值解法——标准四阶Runge—Kutta法（224）习题6·6226

6·7 常微分方程边值问题的差分方法226

1．差分方程的建立（227） 2．极值原理（227） 3．收敛性与误229

差估计（228） 4．解差分方程组的追赶法229

习题6·7231

6·8通用程序设计232

1．定步长Runge—Kutta方法232

2．定步长Adams予测校正法（234）习题6·8237

第七章偏微分方程的数值解法238

引 言238

7·1 椭圆型方程的差分方法238

1．正方网格的差分格式（239） 2．极值原理和差分方程的可解246

性（242） 3．差分方程的收敛性与误差估计（243）习题7·1246

7·2 椭圆型差分方程的解法246

1．典型问题的差分方程（246） 2．边界条件的处理251

习题7·2254

7·3 抛物型方程的差分解法255

1．显式差分格式Ⅰ（256） 2．隐式差分格式Ⅱ257

7·4 抛物型差分方程的稳定性与收敛性259

3．六点对称差分格式Ⅲ（258） 习题7·3259

1．显式格式的稳定性（260） 2．显式格式的收敛性261

3．隐式格式的稳定性与收敛性（263） 习题7·4264

7·5 双曲型方程的差分解法264

1．微分方程的差分近似（265）2．初始条件与边界条件的处理265

3．差分格式的收敛性（267） 4．差分格式的稳定性267

习题7·5268

7·6 抛物型方程差分解法的通用程序设计268

1．显式格式Ⅰ的通用程序（269） 2．隐式格式Ⅱ的通用程序269

3．六点格式Ⅲ的通用程序269

8·1 解常微分方程的有限元方法272

第八章解微分方程的有限元方法272

引 言272

1．等价问题（272） 2．单元分析（275） 3．总体合成与最终求281

解（279） 习题8·1281

8·2 解椭圆型方程的有限元方法282

1．平面区域的三角剖析（282）2．三角单元上的线性插值函数283

3．单元分析（284） 4．总体合成与最终求解286

习题8·2288

8·3 通用程序设计——解Laplace方程的有限元方法289

1．功能（289） 2．算法（289） 3．Algol过程290

4．实例292