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第1章 绪论1

1.1 课程的内容、意义和特点1

编者的话3

1.2 误差的基本概念4

1.2.1 误差和有效数字4

前言5

1.2.2 函数求值的误差估计5

1.2.3 计算机中数的表示和舍入误差7

1.3 数值稳定性和病态问题8

1.3.1 算法的稳定性8

1.3.2 病态数学问题和条件数10

习题111

1.4 算法的实现11

数值试验题112

第2章 预备知识13

2.1 微积分若干基本概念和基本定理13

2.1.1 数列极限和函数极限13

2.1.2 闭区间上的连续函数14

2.1.3 函数序列的一致收敛性16

2.1.4 中值定理17

2.1.5 变参数积分求异公式19

2.2 常微分方程的基本概念和有关理论19

2.2.1 基本概念19

2.2.2 初值问题解的存在唯一性21

2.2.3 初值问题的适定性、条件23

2.2.4 两点边值问题25

2.3 线性代数的有关概念和结论26

2.3.1 线性空间26

2.3.2 矩阵和矩阵变换28

2.3.3 初等矩阵30

2.3.4 矩阵的特征值和谱半径31

2.3.5 Jordan标准形34

2.3.6 矩阵特征值估计--Gerschgorin圆盘定理37

2.3.7 对角占优阵40

2.3.8 对称正定阵42

2.3.9 分块矩阵44

2.3.10 向量和连续函数的内积46

2.3.11 向量范数，矩阵范数和连续函数的范数48

习题255

第3章 线性代数方程组的数值解法61

3.1 引言61

3.2 高斯消去法62

3.2.1 顺序消去过程和矩阵的LU三角分解62

3.2.2 可行性和计算量67

3.2.3 数值稳定性：选主元68

3.3 矩阵的直接三角分解法75

3.3.1 三角形方程组的追赶法75

3.3.2 对称正定的Cholesky分解法77

3.4 方程组的性态、条件数81

3.4.1 病态方程组和矩阵的条件数81

3.4.2 条件数的应用：方程组误差估计85

3.5 大型方程组的迭代方法87

3.5.1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代法88

3.5.2 迭代法的收敛性和收敛速度91

3.5.3 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性判定95

3.5.4 分块迭代法97

3.6 应用例题98

评注102

习题3104

数值试验题3109

第4章 插值和拟合113

4.1 引言113

4.1.1 函数的插值113

4.1.2 离散数据的拟合114

4.2 插值116

4.2.1 拉格朗日插值法116

4.2.2 插值的余项118

4.2.3 均差和牛顿插值法119

4.3 分段低次插值121

4.3.1 龙格现象和分段线性插值121

4.3.2 分段埃尔米特三次插值124

4.3.3 附注：二重埃尔米特插值127

4.4 三次样条插值127

4.4.1 样条插值的背景和定义127

4.4.2 三次样条插值的定解条件128

4.4.3 三弯矩算法130

4.4.4 例题和一致收敛性133

4.5.1 连续函数空间136

4.5 正交多项式136

4.5.2 离散点列上的正交多项式139

4.5.3 连续区间上的正交多项式143

4.6 离散数据的曲线拟合146

4.6.1 线性模型和最小二乘拟合146

4.6.2 正规方程和解的存在唯一性147

4.6.3 多项式拟合和例题151

4.6.4 正规方程的病态和正交多项式拟合154

评注158

习题4158

数值试验题4161

5.1 引言162

第5章 数值积分和数值微分162

5.2 梯形公式和Simpson求积公式164

5.2.1 梯形公式和Simpson公式164

5.2.2 复化梯形公式和复化Simpson公式167

5.3 Gauss求积公式170

5.3.1 Gauss点与正交多项式零点的关系171

5.3.2 常用的Gauss型求积公式173

5.3.3 Gauss公式的余项178

5.3.4 Gauss求积公式的数值稳定性和收敛性179

5.4 数值微分180

5.4.1 Taylor展开法181

5.4.2 插值型求导公式185

5.4.3 三次样条求导187

5.5.1 外推原理189

5.5 外推技巧和自适应技术189

5.5.2 数值微分的外推算法191

5.5.3 数值积分的Romberg算法191

5.5.4 自动变步长Simpson方法和自适应Simpson方法193

5.6 应用例题194

评注197

习题5198

数值试验题5201

第6章 常微分方程的数值解法203

6.1 引言203

6.2.1 Euler方法及其截断误差和阶204

6.2 初值问题的数值解法204

6.2.2 Runge-Kutta法209

6.2.3 单步法的稳定性214

6.2.4 线性多步法217

6.2.5 预测-校正技术和外推技巧221

6.3 一阶常微分方程组的数值方法225

6.3.1 一阶方程组和高阶方程225

6.3.2 刚性方程(组)227

6.4 边值问题的打靶法和差分法233

6.4.1 打靶法234

6.4.2 差分法237

6.5 有限元方法239

6.5.1 泛函极值和Euler方程240

6.5.2 两点边值问题的变分原理244

6.5.3 变分近似法--Ritz-Galerkin方法251

6.5.4 有限元方法257

评注266

习题6267

数值试验题6272

第7章 非线性方程和方程组的解法276

7.1 引言276

7.1.1 问题的背景和内容概要276

7.1.2 一元方程的搜索法277

7.2 一元方程的基本迭代法279

7.2.1 基本迭代法及其收敛性279

7.2.2 局部收敛性和收敛阶282

7.2.3 收敛性的改善286

7.3 一元方程的牛顿迭代法288

7.3.1 牛顿迭代法及其收敛性288

7.3.2 重根时的牛顿迭代改善291

7.3.3 离散牛顿法293

7.4 非线性方程组的解法294

7.4.1 不动点迭代法294

7.4.2 牛顿迭代法298

7.4.3 拟牛顿法303

附录7.1 某些定理的证明307

附录7.2 延拓法310

评注313

习题7314

数值试验题7317

第8章 最优化方法318

8.1 引言318

8.2 线性规划及其解法320

8.2.1 标准形式和基本性质320

8.2.2 单纯形算法324

8.2.3 单纯形方法的初始化330

8.2.4 线性规划的对偶性质333

8.2.5 对偶变尺度算法336

8.3 无约束最优化方法342

8.3.1 基本概念和下降法342

8.3.2 一维搜索345

8.3.3 下降方向和收敛性348

8.3.4 非线性最小二乘问题351

8.4 约束最优化方法356

8.4.1 引言356

8.4.2 罚函数法357

8.4.3 下降法363

8.4.4 凸二次规划的内点算法369

评注374

习题8375

数值试验题8377

第9章 矩阵特征值问题的数值解法379

9.1 引言379

9.1.1 问题的背景和内容概要379

9.1.2 特征值的扰动和条件数381

9.2.1 幂法和外推加速382

9.2 幂法及其变形382

9.2.2 反幂法和原点位移387

9.2.3 对称矩阵的修正幂法390

9.3 矩阵的两种正交变换393

9.3.1 平面旋转变换和镜面反射变换393

9.3.2 化矩阵为Hessenberg形398

9.3.3 矩阵的QR分解402

9.4 QR算法405

9.4.1 QR算法及其收敛性405

9.4.2 QR算法的改善410

9.4.3 双步隐式QR算法413

习题9420

评注420

数值试验题9423

附录 Matlab语言简介424

f.1 Matlab语言的特点424

f.2 环境窗口、语言结构和编程方法426

f.3 主要语法和符号428

f.4 矩阵的操作和运算433

f.5 库函数439

f.6 若干算法的Matlab程序442

参考文献454

习题答案456

索引468