《FOURIER分析》

第一章预备知识，抽象空间1

1.1 线性空间1

1.2 内积空间3

1.3 距离空间，赋范空间5

1.4 Banach空间，H1lbert空间7

1.5 Lp空间8

1.6 Holder不等式，Minkowski不等式10

1.7 凸函数与Jensen不等式15

第二章正交系18

2.1 投影18

2.2 正交系19

2.3 正交化21

2.4 Fourier展开25

2.5 正交列的完全性(Ⅰ)33

2.6 正交列的完全性(Ⅱ)37

评注42

第三章Banach空间44

3.1 Lp，lp空间的完备性44

3.2 Banach空间上的线性算子47

3.3 有界线性算子构成的空间51

3.4 在Barach空间中取值的函数54

3.5 卷积57

3.6 测度空间59

3.7 积分66

评注70

第四章Fourier系数71

4.1 Fourier级数71

4.2 Fourier系数的大小75

评注81

第五章Fourier级数的收敛与求和83

5.1 Fourier级数在一点的收敛83

5.2 Fourier级数的收敛条件86

5.3 Fourier级数的几乎处处收敛与发散89

5.4 (C.1)求和法90

5.5 Fejér定理的应用95

5.6 Fejér-Lebesgue定理96

5.7 Abel求和法99

评注105

第六章函数类与Fourier级数，共轭函数108

6.1 L2中函数的Fourier级数，Parseval等式108

6.2 依范数求和112

6.3 共轭级数，关于余弦级数的一个定理118

6.4 共轭Fourier级数的收敛124

6.5 共轭Fourier级数的可求和性130

6.6 共轭函数的存在性133

评注139

第七章调和函数143

7.1 单位圆上的调和函数，解析函数的边值143

7.2 调和函数与Poisson积分(Ⅰ)150

7.3 Fatou定理152

7.4 三角级数成为Fourier级数的条件158

7.5 调和函数与Poisson积分(Ⅱ)166

评注168

第八章函数类Hp171

8.1 在Banach空间中取值的解析函数171

8.2 函数类Hp175

8.3 Hp中函数的因式分解(Ⅰ)，预备185

8.4 Hp中函数的因式分解(Ⅱ)190

8.5 关于Hp的几个定理197

8.6 Hp(p＞0)中的函数200

评注202

9.1 R1esz-Thorin定理204

第九章线性算子的插值，共轭函数204

9.2 F.Riesz定理与Hausdorff-Young定理214

9.3 Lp(p＞1)的共轭函数219

9.4　Lp(p＞1)中函数的Fourier级数的部分和227

9.5 L1与L？中函数的共轭函数230

评注232

第十章L1(-∞，∞)的Fourier变换235

10.1 Fourier变换的定义236

10.2 Fourier变换的反演239

10.3 由求和法导出反演公式242

10.4 卷积的Fourler变换248

10.5 几个特殊的函数249

10.6 Fourier变换的大小与连续性258

10.7 一般求和定理259

10.8 Fourier变换的解析函数265

10.9 L1(-∞，∞)中函数的平移的线性组合类272

10.10 一般Tauber型定理277

评注286

第十一章Lp(-∞，∞)(p＞1)中函数的Fourier变换288

11.1 L2(-∞，∞)中函数的Fourier变换288

11.2 关于L2(-∞，∞)的Fourier变换的几个定理294

11.3 卷积的Fourier变换297

11.4 L2(-∞，∞)中函数的平移的线性组合类300

11.5 Lp(-∞，∞)(1＜p＜2)中函数的Fourier变换302

评注307

12.1 H1lbert变换，共轭函数310

第十二章Hilbert变换310

12.2 H1lbert-Stieltjes变换的存在性311

12.3 Lp(-∞，∞)(1≤p＜∞)中函数的Hilbert变换319

12.4 Poisson积分与共轭Polsson积分324

12.5 Hilbert变换的反演330

评注331

第十三章解析函数与Fourier变换334

13.1 半平面上的解析函数334

13.2 Paley-Wiener定理340

13.3 Hardy的一个定理346

评注350

附录352

文献365