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前言1

走向数学1

1.世界通用的语言——数1

2.数一数宇宙的沙粒——大数2

3.驯服大数——位值制4

4.加减乘除出新数——数系的扩大5

5.比比看——等与不等7

6.测量引起的危机——不可通约量的出现8

7.丰富多彩的三角形——三角形的恒等与相似10

8.周长与面积——海仑公式11

9.径1周3——π的故事13

10.圆规直尺够用吗——几何作图15

11.神坛加倍引出的问题——几何三大问题16

12.曲线的新家族——圆锥曲线18

13.神秘的柏拉图立体——正多面体19

14.美丽的图形——对称性21

15.数学的圣经——欧几里得《几何原本》23

神秘的数25

16.画出来的数——图形数25

17.乘法的原子——素数27

18.正整数找到了归宿——素因子唯一分解定理28

19.求同存异——最大公因数和最小公倍数30

20.素数知多少——素数定理32

21.素数中的孪生兄弟——双生素数33

22.素数的近亲——伪素数36

23.整数的乘法分析——费尔马数的因子分解38

24.十全十美的数——完全数和马桑素数40

25.免掉麻烦——同余理论41

26.整数的加法分析——加法表示43

27.Eureka!(我发现了)——Num＝△+△+△45

28.用平方数能表示所有整数吗——四平方和定理46

29.立方数呢——华林问题48

30.到1+1的艰苦攀登——哥德巴赫猜想50

数之间的微妙关系52

31.埃及的分数——单位分数52

32.毕达哥拉斯的直角三角形——勾股定理54

33.丢番图的年纪——由确定方程到不定方程55

34.物不知其数——中国剩余定理57

35.无限繁殖的兔子——菲波那奇数58

36.张冠李戴的方程——佩尔方程59

37.永远除下去——连分数61

38.更高一次——三次不定方程63

39.数学女王的桂冠——费尔马大定理65

40.无穷无尽的推广——欧拉的猜想67

41.唯一因子分解定理不成立之时——代数数论68

42.有理数与无理数的差别——丢番图逼近70

43.不满足代数方程的数——超越数72

44.圆内有多少格子点——格点问题73

45.数学的女王——数论75

46.无处不在的表示——阶乘77

组合数学与图论77

47.有多少种安排——排列与组合78

48.奇异的三角形——杨辉三角80

49.奇妙的关系——二项式定理82

50.至关重要的数——伯努利数83

51.龟背上的纵横图——幻方86

52.36军官问题——正交拉丁方88

53.散步增友谊——寇克曼15女生问题90

54.台面上的礼貌——夫妻围坐问题91

55.有多少种同分异构体——波利亚定理93

56.环游世界——哈密尔顿游戏95

57.比赛出冠军——比赛图97

58.画地图用多少颜色——四色问题98

59.有400人就有不少人同一天过生日——抽屉原理100

60.都认识或都不认识——拉姆赛理论101

代数104

61.符号的重要——从算术到代数104

62.怎样解题——代数方程和代数方程组106

63.分圆与开方——虚数与复数108

64.多个变元多个方程——线性方程组109

65.数的阵列——行列式111

66.投入与产出——矩阵113

67.根的置换——置换与置换群115

68.伽罗华的悲剧——高次方程的根式解117

69.1+2+……+100——等差级数及其他118

70.(1\+2)+(2\+2)+……+(100\+2)——等幂和问题120

71.项数无穷的困惑——无穷级数122

72.比较就能判别——收敛与发散124

73.对称无处不在——群与群论126

74.更上一层楼——四元数127

75.数学中的新家族——抽象代数129

几何132

76.数与形的联姻——坐标132

77.曲线与方程——解析几何133

78.形形色色的曲线——代数曲线与超越曲线135

79.怎样分类——曲线的分类137

80.把图形画在纸上——射影几何138

81.共点与共线——德萨格定理139

82.点与线的对应——对偶定理141

83.唯我独尊——欧几里得几何143

84.对欧氏几何的挑战——非欧几何145

85.平行线不止一条——罗巴切夫斯基几何146

86.群与几何学——埃尔兰根计划148

87.笔直与弯曲——曲率149

88.地球上两点间最短航线——测地线151

89.张在铁丝架上的肥皂膜——极小曲面153

90.走向新空间——各种几何学154

拓扑学157

91.哥尼斯堡的七桥——一笔画问题157

92.多面体的秘密——欧拉公式158

93.把平面分成两部分——若尔当定理160

94.填满空间的曲线——维数161

95.单侧的带子——莫比乌斯带163

96.直线构成的空间——射影平面164

97.装不进水的瓶子——克莱因瓶166

98.球不分大小——球面拓扑学167

99.轮胎上的几何——环面拓扑学169

100.各种曲面——闭曲面的分类170

101.有边无边的争论——无边缘的流形171

102.庞加莱的妙法——拓扑不变量173

103.走向更高的维数——流形175

104.网络能布在平面上吗——嵌入问题176

105.现代数学的女王——拓扑学178

分析180

106.联系四个量的美妙公式——欧拉公式180

107.不断反复的波形曲线——三角函数182

108.越来越快的增长——指数函数与对数函数183

109.分析的中心——函数185

110.速度与切线——微分法187

111.面积与体积——积分法188

112.开门与关门——微积分基本定理190

113.多项式走向无穷——泰勒展开191

114.半个世纪的争论——傅立叶级数193

115.函数值的计算——函数逼近论194

116.处处没有切线的连续曲线——不可微连续函数196

117.走向极端——极大极小问题197

118.一根绳子圈出的面积——等周问题199

119.最快地逃离火海——最速降线问题201

120.从有穷代数到无穷代数——数学分析今昔202

概率统计及运筹学204

121.政治算术——统计的起源204

122.赌场产生的问题——概率205

123.观察与实验的必经之路——最小二乘法208

124.数据的描述——总体与样本209

125.两头小中间大——正态分布211

126.多次试验出规律——大数定律与中心极限定理212

127.由小知大——大样本与小样本213

128.身材是怎样遗传的——回归与相关214

129.药真的有效吗——假设检验216

130.醉汉的行走——布朗运动218

131.运筹帷幄之内——运筹学220

132.多快好省搞四化——线性规划221

133.0.618——优选法223

134.囚徒的两难——对策论224

135.什么时候大修——可靠性理论226

数学基础与数理逻辑228

136.桌子、椅子、啤酒杯——公理系统228

137.数学中永恒的问题——无穷230

138.无穷与无穷也不一样——康托尔集合论232

139.集合中的子集——子集合有多少233

140.连续性的矛盾——芝诺悖论235

141.实数线上有多少点——连续统假设236

142.能够选出代表吗——选择公理238

143.理发师的两难处境——罗素悖论239

144.一连串的悖论——集合论悖论与语义悖论241

145.为消除悖论而战——公理集合论242

146.一场大论战——逻辑主义、直觉主义与形式主义244

147.数学的一揽子计划——希尔伯特纲领246

148.行得通与行不通——哥德尔不完全定理247

149.计算行得通吗——可计算性248

150.无穷无尽的探索——数学基础与数理逻辑250

参考书目选253