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数学是什么？1

第一章　自然数7

引言7

1　整数的计算8

1．算术的规律8

2．整数的表示12

3．非十进位制中的计算15

1．数学归纳法原理19

2　数系的无限性　数学归纳法19

2．等差级数22

3．等比级数24

4．前n项平方和25

5．一个重要的不等式27

6．二项式定理28

7．再谈数学归纳法31

第一章补充　数论34

引言34

1．基本事实35

1　素数35

2．素数的分布40

2　同余49

1．一般概念49

2．费尔玛定理55

3．二次剩余57

3　毕达哥拉斯数和费尔玛“定理”60

4　欧几里得辗转相除法63

1．一般理论63

2．在算术基本定理上的应用69

3．欧拉函数？　再谈费尔玛定理70

4．连分数　丢番都方程72

第二章　数学中的数系76

引言76

1　有理数76

1．作为度量工具的有理数76

2．数学内部对有理数的需要推广的原则79

3．有理数的几何解释82

2　不可公度线段　无理数和极限概念84

1．引言84

2．十进位小数　无限小数88

3．极限　无穷等比级数91

4．有理数和循环小数96

5．用区间套给出无理数的一般定义98

6．定义无理数的另一个方法　戴特金分割101

1．基本原理103

3　解析几何概述103

2．直线方程和曲线方程105

4　无限的数学分析109

1．基本概念109

2．有理数的可数性和连续统的不可数性111

3．康托的“基数”117

4．反证法120

5．有关无限的悖论122

6．数学的基础123

1．复数的起源124

5　复数124

2．复数的几何解释128

3．棣莫弗公式和单位根135

4．代数基本定理139

6　代数数和超越数142

1．定义和存在性142

2．柳维尔定理和超越数的构造143

第二章补充　集合代数149

1．一般理论149

2．在数理逻辑中的应用154

3．在概率论中的一个应用157

第三章　几何作图　数域的代数160

引言160

Ⅰ　不可能性的证明和代数164

1　基本几何作图164

1．域的构作和开平方根164

2．正多边形167

3．阿波罗尼斯问题170

1．一般理论172

2　可作图的数和数域172

2．可作图的数都是代数数181

3　三个不可解的希腊问题183

1．倍立方体问题183

2．关于三次方程的一个定理185

3．三等分任意角187

4．正七边形189

5．关于化圆为方的问题191

1．一般说明192

Ⅱ　作图的各种方法192

4　几何变换　反演192

2．反演的性质194

3．反演点的几何作图196

4．只用圆规如何二等分一线段及求圆心198

5　用其它工具作图　只用圆规的马歇罗尼作图199

1．倍立方体的古典作图199

2．只限于用圆规200

3．用机械工具作图　机械曲线　旋轮线206

4．连杆　波西里叶和哈特的反演器209

6　再谈反演及其应用212

1．角的不变性　圆族212

2．在阿波罗尼斯问题上的应用216

3．重复反射217

第四章　射影几何　公理体系　非欧几里得几何220

1 引言220

1．几何性质的分类变　换下的不变性220

2．射影变换223

1．射影变换群224

2　基本概念224

2．笛沙格定理226

3 交比229

1．定义和不变性的证明229

2．在完全四边形上的应用237

4　平行性和无穷远238

1．作为“理想点”的无穷远点238

2．理想元素和射影242

3．含有无穷远元素的交比244

1．初步说明245

5　应用245

2．平面上笛沙格定理的证明247

3．巴斯嘉定理249

4．布利安桑定理250

5．对偶性简介251

6　解析表示253

1．初步说明253

2．齐次坐标　对偶性的代数基础255

7　只用直尺的作图问题259

1．二次曲线的初等度量几何262

8　二次曲线和二次曲面262

2．二次曲线的射影性质265

3．二次曲线看作线曲线270

4．关于二次曲线的巴斯嘉和布利安桑的一般定理274

5．双曲面277

9　公理体系和非欧几何279

1．公理方法279

2．双曲非欧几里得几何284

3．几何与现实289

4．庞加莱的模型291

5．椭圆几何或黎曼几何292

附录　高维空间中的几何学294

1．引言294

2．解析的方法295

3．几何的方法或组合的方法298

第五章　拓扑学303

引言303

1　多面体的欧拉公式305

2　图形的拓扑性质310

1．拓扑性质310

2．连通性312

3　拓扑定理的其它例子314

1．若当曲线定理314

2．四色问题316

3．维的概念318

4．不动点定理323

5．纽结327

1．曲面的亏格328

4　曲面的拓扑分类328

2．曲面的欧拉示性数331

3．单侧曲面333

附录338

1．五色定理338

2．多边形的若当曲线定理341

3．代数基本定理344

引言348

第六章　函数和极限348

1　变量和函数349

Ⅰ．定义和例子349

2．角的弧度制355

3．函数的图象　反函数356

4．复合函数360

5．连续性362

6．多元函数365

7．函数和变换369

1．序列an的极限371

2　极限371

2．单调序列378

3．欧拉数e381

4．数π384

5．连分数386

3　连续趋近的极限390

1．引言　一般定义390

2．极限概念的评述392

3．sinx/x的极限395

4．当x→∞时的极限398

4　连续性的精确定义400

5　有关连续函数的两个基本定理403

1．布尔查诺定理403

2．布尔查诺定理的证明404

3．维尔斯特拉斯极值定理405

4．有关序列的一个定理　紧致集408

6 布尔查诺定理的一些应用410

1．几何上的应用410

2．力学问题上的一个应用413

1．一般说明416

第六章补充　极限和连续的一些例题416

1　极限的例题416

2．qn的极限417

3．？的极限418

4．不连续函数当作连续函数的极限421

5．极限的叠代求法422

2　连续性的例题425

第七章　极大与极小427

引言427

1．两边给定求面积极大的三角形428

1　初等几何中的问题428

2．赫伦定理　光线的极值性质429

3．三角形问题上的应用432

4．椭圆和双曲线的切线性质　相应的极值性质433

5．到给定曲线的距离的极值437

2　基本极值问题的一般原则440

1．原则440

2．例题442

1．极值和驻点444

3　驻点与微分学444

2．多元函数的极大和极小　鞍点446

3．极小极大点和拓扑学448

4．点到曲面的距离449

4　施瓦茨的三角形问题450

1．施瓦茨的证明450

2．另一种证法453

3．钝角三角形456

4．由光线形成的三角形457

5．有关反射和遍历运动的说明459

5　施泰纳问题460

1．问题及解答460

2．两种不同情况的分析462

3．一个补充问题465

4．说明与习题466

5．推广到道路网问题467

6　极值与不等式469

1．两个正量的算术平均和几何平均470

2．推广到n个变量472

3．最小二乘法474

7　极值的存在性　狄里赫莱原理476

1．一般说明476

2．例题479

3．初等极值问题481

4．比较复杂情形中所存在的困难483

8　等周问题485

9　带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系489

1．引言493

10　变分法493

2．变分法　费尔玛光学原理494

3．贝努利对捷线问题的处理497

4．球面上的测地线与极大-极小499

11 极小问题的实验解法　肥皂膜实验500

1．引言500

2．肥皂膜实验501

3．普拉图问题的几种新实验503

4．其它数学问题的实验解法508

引言515

第八章　微积分515

1　积分517

1．面积看作是一个极限517

2．积分519

3．积分概念的一般说明　一般定义524

4．积分举例 x？的积分526

5．“积分运算”的法则533

2　导数538

1．把导数看作是斜率538

2．导数看作是一极限539

3．例题543

4．三角函数的导数547

5．可微性和连续性549

6．导数和速度　二阶导数和加速度549

7．二阶导数的几何意义553

8．极大与极小554

3　微分法555

4　莱布尼兹的记号和“无穷小”564

1．基本定理568

5　微积分基本定理568

2．初步应用？,cosx,sinx的积分arc tgx572

3．表示π的莱布尼兹公式575

6　指数函数与对数函数578

1．对数的定义和性质　欧拉数e578

2．指数函数582

3．ex,ax,xs的微分公式585

4．用极限表示e,ex和lnx的表达式586

5．对数的无穷级数展开式　数值计算590

1．定义594

7　微分方程594

2．指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率　复利595

3．其它例题　简谐振动600

4．牛顿动力学定律602

第八章　补充605

1　原理方面的内容605

1．可微性605

2．积分608

3．积分概念的另一些应用　功弧长610

1．指数函数和x的幂614

2　数量级614

2．1n（n！）的数量级617

3　无穷级数和无穷乘积619

1．函数的无穷级数619

2．欧拉公式cosx+isinx=eix626

3．调和级数和Zeta函数　正弦的欧拉乘积629

4　用统计方法得到素数定理634

算术和代数639

附录　补充说明　问题和习题639

解析几何642

几何作图649

射影几何和非欧几何651

拓扑学652

函数、极限和连续性657

极大与极小658

微积分661

积分法664