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第一章 复数1

1.1. 复数1

1.2. 复数的算术运算1

1.3. 共轭复数，绝对值，不等式5

1.4. 复数在平面上的表示7

1.5. 复数的幅角8

1.6. 复数的乘幂和方根10

1.7. 复数平面上的直线和圆11

1.8. 无穷远点12

1.9. 复数的球面表示法13

第二章 平面点集18

2.1. 点集概念18

2.2. 度量空间，邻域19

2.3. 极限点20

2.4. 闭集，开集21

2.5. 内点，界点，外点22

2.6. 区域22

2.7. 序列24

2.8. 致密集24

2.9. 约当曲线27

第三章 无穷级数31

3.1. 上极限，下极限31

3.2. 序列的收敛准则32

3.3. 无穷级数33

3.4. 绝对收敛级数34

3.5. 级数的运算36

第四章 解析函数41

4.1. 复变函数41

4.2. 连续函数42

4.3. 可导性44

4.4. 解析函数45

4.5. 由歌西-黎曼条件所得的推论49

4.6. 调和函数50

4.7. 单叶函数，反函数52

4.8. 幂级数53

4.9. 幂级数所定的函数的解析性56

第五章 初等函数61

5.1. 实变函数的推广61

5.2. 有理函数62

5.3. 指数函数65

5.4. 三角函数67

5.5. 双曲线函数69

5.6. 对数函数69

5.7. Log(1+z)的展开式71

5.8. 幂函数zμ71

5.9. 反三角函数72

第六章 保形映射，线性变换74

6.1. 保形映射74

6.2. 解析映射的保形性74

6.3. 在保形映射中弧的微分关系77

6.4. 例题77

6.5. 保形映射的基本问题81

6.6. 线性变换83

6.7. 线性变换的不变量--四点的交比84

6.8. 反演变换85

6.9. 圆的线性变换性质87

6.10. 线性变换与反演变换的关系88

6.11. 线性变换的不变点91

6.12. 线性变换的另一种形式92

6.13. 黎曼定理的例子94

7.1. 围线99

第七章 复变函数积分99

7.2. 积分的黎曼定义100

7.3. 沿正则弧的积分101

7.4. |∫Cf(z)dz|的上界104

7.5. 歌西积分定理104

7.6. 歌西积分定理的一般形式106

7.7. 歌西积分定理推广到复连通区域111

7.8. 不定积分113

7.9. 歌西积分公式114

7.10. 正则函数的各级导数115

7.11. 歌西不等式117

7.12. 里乌维尔定理118

7.13. 代数基本定理118

7.14. 摩勒拉(Morera)定理118

8.1. 函数序列122

第八章 函数项级数及函数的展开122

8.2. 一致收敛级数126

8.3. 泰勒展开式129

8.4. 解析函数的零132

8.5. 最大模定理134

8.6. 罗朗展开式135

第九章 函数的奇点140

9.1. 孤立奇点的分类140

9.2. 可去奇点140

9.3. 极141

9.4. 本性奇点143

9.5. 零的极限点145

9.6. 函数在无穷远点邻域内的性质146

9.7. 有理函数的奇点147

10.1. 残数149

第十章 残数及其应用149

10.2. 残数定理151

10.3. 解析函数的零的个数，幅角原理152

10.4 儒歇(Rouché)定理154

10.5. 代数基本定理155

10.6. 围线求积分法156

10.7. 求？f(cosθ，sinθ)dθ156

10.8. 求？f(x)dx157

10.9. 广义积分的歌西主值160

10.10. 求？f(x)dx163

第十一章 整函数与半纯函数167

11.1. 无穷乘积167

11.2. 整函数173

11.3. 半纯函数180

11.4. 半纯函数的歌西分解法185

11.5. cotπz与sinπz的展开187

第十二章 解析开拓191

12.1. 解析开拓定义191

12.2. 解析开拓的唯一性，函数方程的持续原则192

12.3. 完全解析函数194

12.4. 解析开拓的幂级数方法196

12.5. 单值性定理197

第十三章 多值函数201

13.1. 多值函数概念201

13.2. 黎曼曲面概念203

13.3. 定义于黎曼曲面上的函数208

13.4. 代数函数211

附录Ⅰ 复变函数的应用218

附录Ⅱ 复变函数论发展史略224

附录Ⅲ 参考书229

附录Ⅳ 部分习题参考答案230