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第一部分 画法几何解题方法通论1

一、画法几何解题的一般步骤1

二、空间分析方法3

三、画法几何常用的解题方法5

附：画法几何基本作图集17

(一)从属关系的基本作图19

1. 在已知平面内取点和直线19

2. 包含直线作平面p20

3. 过点A作平面P21

(二)相对位置关系的基本作图22

4. 直线的迹点22

5.过点K作一直线平行于已知平面23

6.过点K作平面平行于直线AB24

7.过点K作平面平行于已知平面25

8.平面与平面相交求交线26

9.直线与平面相交求交点27

10.过定点M作直线垂直于已知平面△ABC(或P面)28

11.过定点M作平面垂直于已知直线AB29

12.过点A作直线AK与直线BC垂直相交30

(三)投影变换的基本作图31

13.用直角三角形法求线段实长及其与投影面的倾角31

14.用辅助投影面法将一般位置线变换为投影面平行线32

15.用绕垂直轴旋转法将一般位置直线旋转为投影面平行线32

16.用辅助投影面法将一般位置直线换为投影面垂直线33

17.用绕垂直轴旋转法将一般位置直线旋转为投影面垂直线33

18.用辅助投影面法将一般位置平面变换为投影面垂直面34

19.用绕垂直轴转法将一般位置平面变为投影面垂直面34

20.用辅助投影面法将一般位置平面变换为投影平行面35

21.用绕垂直轴旋转法将一般位置平面旋转成投影面平行面35

22.将点A绕水平轴旋转至包含此轴的水平面重合36

23.用绕平行于投影面的轴旋转求平面图形的实形37

24.将平面P绕P_H旋转重合于H面内38

25.将平面P内的点A绕P_H转旋至投影面H内39

26.用反旋转法将H面内的一点A_1绕P_H旋转至P平面内40

第二部分 各类典型题解41

类型Ⅰ 有关距离的问题43

一、空间几何元素之间距离问题的转化43

二、 求解距离问题的方法和要点43

三、应用举例50

Ⅰ-1. 试用各种方法求点C到直线AB的距离，并求其垂足50

Ⅰ-2.点K距△ABC为10毫米，求点K的水平投影54

Ⅰ-3.在直线CD上找一点K，使之距直线AB为15毫米55

Ⅰ-4.已知直线AB距离直线CD为15毫米，求AB的正面投影56

Ⅰ-5.求作交叉二直线公垂线的投影其实长57

Ⅰ-6.作一平面(用几何元素表示)，使其与△ABC的距离为20毫米61

Ⅰ-7.在∠BAC等分角线上找一点K，使与已知点M相距为30毫米62

Ⅰ-8.作一平面平行于已知△ABC，且使其与△ABC的距离等于与已知点M的距离(ab‖X轴)64

Ⅰ-9.已知点C至AB的距离等于点C至ABC平面与V面交线的距离，求C65

Ⅰ-10.作一直线与三条交叉直线均相交，并使三个交点间的两条线段长度相等66

类型Ⅱ 有关角度的问题67

一、解决各类有关角度问题的方法和要点67

二、应用举例79

Ⅱ-1.画出光线R在平面镜ABC是的反射路径79

Ⅱ-2.作一平面与三条交叉直线AB、CD、EF成等倾角81

Ⅱ-3.过点N作一直线平行于平面P，且与水平面的夹角为45°82

Ⅱ-4.过直线AB上的一点B作一直线AB在30°，与水平面成45°83

Ⅱ-5.过已知点A作与平面P成45°角的直线AD，已知a′d′在L′上84

Ⅱ-6.过直线AB作一平面，使该平面与V面的倾角为30°87

Ⅱ-7.已知等边△ABC的一边AB，且该三角形与V面成45°夹角，求△ABC的投影90

Ⅱ-8.过已知点A作一平面与V面成∠60°，与H 面成∠45°93

Ⅱ-9.过点A有三个相互垂直的平面，其中平面P过点B 且与H面成∠45°，平面Q与H面成∠60°，求平面P、Q及平面R对H面的倾角Q_H95

Ⅱ-10.作一直线MN使与直线AB(a′b‖x)和CD分别相交成45°和30°96

一、解决这类问题的一般方法97

类型Ⅲ 有关确定空间几何元素所缺的投影97

Ⅲ-1.在平面P内作一等腰三角形ABC，设它的底为已知线段AB，顶点C在P_V上101

二、应用举例101

Ⅲ-2.已知一直线L与点A，试作出垂边BC=40毫米，且位于直线L上的直角△ABC102

Ⅲ-3.根据已知的直角边AB及斜边的方向BM，作出直角△ABC103

Ⅲ-4.以直线AB为一边，作等边三角形ABC，且使其顶点C在H面上104

Ⅲ-5.在平面P上作出以AB为边长的正三角形ABC的投影106

Ⅲ-6.已知直线段AB，且点B在平面P内，求作一等边三角形ABC，使BC在平面P内108

Ⅲ-7.已知△ABC的顶角∠ACB=60°，DE是过顶点C的高线，补全△ABC的投影112

Ⅲ-8.已知△ABC中，∠BAC=60°，BC=40毫米，AC=30毫米，补全△ABC的投影113

类型 Ⅳ求已知图形的公有元素问题114

一、解题方法和要点114

二、应用举例124

Ⅳ-1.求下列两平面的交线，并判别可见性125

Ⅳ-2.过点A作一直线AK与直线BC和投影轴X相交127

Ⅳ-5.试求出平面Q与圆环表面的截交线130

Ⅳ-3.试求出平面P与圆锥成的截交线130

Ⅳ-4.试求出平面P与圆柱面截交线130

Ⅳ-6.试求出直线AB与下列锥面的交点131

Ⅳ-7.已知圆锥面及圆锥面外一点A，试找出圆锥面上距点A最近点K的投影132

Ⅳ-8.已知圆球面及面外一点，试找出该球面上距点A最近点K的投影132

Ⅳ-9. 求直线AB与圆锥面的交点134

Ⅳ-10. 求直线AB与斜椭圆柱面的交点134

Ⅳ-11. 求直线AB与斜圆锥面的交点136

Ⅳ-12. 求直线AB与回转面的交点137

Ⅳ-13. 求直线AB与回转抛物面的交点137

Ⅳ-14. 试求出圆柱面与圆锥面的交线138

Ⅳ-15. 试求出圆柱面与圆球面的交线138

Ⅳ-16. 试求出圆环面与圆柱面的交线139

一、解题的方法和要点140

二、应用举例140

类型Ⅴ 关于作曲面的切平面问题140

Ⅴ-1. 过点A作斜椭圆柱面的切平面143

Ⅴ-2. 试作与直线AB平行且与圆柱面相切的平面(迹线表示)143

Ⅴ-3. 过锥面上一点A作一直线与锥面相切，且与H面的倾角θ_H=30°145

Ⅴ-4. 过锥面上一点A作平面与球面相切，且使该平面与H面的倾角θH=60°145

Ⅴ-5. 试作一平面切于圆柱面且使该切面与H面的倾角θ_H=60°146

Ⅴ-6. 求作一平面距直线L为20毫米，且与正面所成倾角θ_V=30°147

Ⅴ-7. 过点K作一平面平行于已知直线AB且与H面的倾角θ_H=60°148

Ⅴ-8. 已知平面P(AB×AC)与点E，试作一平面Q⊥ P，并使Q面与H成的倾角θ_H=60°148

Ⅴ-9. 试作一平面切于圆球面且与直线AB垂直149

Ⅴ-10.已知平面P为铅垂面，平面Q为正垂面，试作出一球面，使其直径为40毫米 ，且与P、Q和H三面相切149

Ⅴ-11. 试作一同时切于二球面与H面倾角θ_H=60°的平面150

Ⅴ-12. 试作一平面同时切于已知的球面和圆锥面151

Ⅴ-13. 试作一平面同时切于已知三球面152

应用举例153

类型Ⅵ 其它综合杂题153

Ⅵ-1. 过直线AB上一点M，作一直线与直线CD相交，且平行于平面P154

Ⅵ-2. 过点A作一直线AK平行于平面P并与已知直线BC相交156

Ⅵ-3. 作一直线MN与AB和CD相交，并平行于直线EF158

Ⅵ-4. 在直线MN上找一点与线段AB两端点的连线成等角度161

Ⅵ-5. 已知△ABC的一条边AB，另一边AC⊥平面(DE‖FG)，第三条边BC平行于平面(HI×IK)，求△ABC的投影162

Ⅵ-6. 过己知点A作一条与平面P成45°角的直线AB。设此直线在平面P上的正投影与该面内的一条正平线重合165

Ⅵ-7. 过已知点B作与平面P成45°角的直线BC，设此直线在平面P上的正投影为已知线段AB166

Ⅵ-8. 在平面P上有一菱形ABCD，它的对角线AC=40毫米，且重合于MN，已知顶点B在P_r上，作此菱形168

Ⅵ-9.四边形ABCD的长边BC在已知直线MN上，点K系高AK之垂足，并知顶点A的下面投影a′，BK：KC=1：2，∠3=60°，求此四边形169

Ⅵ-10.求△ABC以AB为轴旋转120°后的投影170

Ⅵ-11. 通过已知的不在一平面上的四点A、B、D、F作一球面的投影171

Ⅵ-12. 求作交叉二直线AB、CD对H画成30°倾角的最短连线MN172

Ⅵ-13. 在平面P上作一直线AB，使其与面上点O相距为L且与水平面倾角为30°173

Ⅵ-14. 在P面上有一个以点O为中心，R为半径的圆，通过X轴上一点作一直线，使该直线通过圆周且垂直平面P174

Ⅵ-15. 已知直线AB与CD，直线AB不动，CD绕铅垂线CO为轴旋转，求CD⊥AB的位置175

第三部分 画法几何解题中常出的错误176