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目录1

第一章 经济问题的描述1

1．经济学中的数学方法1

1.1． 引言1

1.2． 运用数学方法的困难2

1.3． 研究任务的必要的限制5

1.4． 结束语6

2．合理行为问题的定性讨论7

2.1． 合理行为的问题7

2.2． “鲁滨逊”经济和社会性交换经济8

2.3． 变量的数目和参加者的数目10

2.4．参加者很多的情况：自由竞争11

2.5． “罗圣”理论13

3．效用概念13

3.1． 选择和效用13

3.2． 量度的原则：引言14

3.3． 概率和效用的数量概念15

3.4． 量度的原则：详细的讨论18

3.5． 效用的数量概念的公理化方法的概念结构21

3.6． 公理及其解释22

3.7． 关于公理的一般说明24

3.8． 边际效用概念的作用26

4．理论的结构：解和行为的标准27

4.1． 一个参加者的解的最简单概念27

4.2． 推广至所有的参加者29

4.3． 作为转归集合的解30

4.4． “优越”或“控制”的不可传递性的概念32

4.5． 解的精确定义34

4.6． 以“行为标准”来解释我们的定义35

4.7． 竞赛和社会组织37

4.8． 结束语38

第二章 策略竞赛的一般描述40

5．绪论40

5.1． 重点从经济学转移到竞赛40

5.2． 分类和讨论程序的一般原则40

6．简化的竞赛概念42

6.1． 术语的解释42

6.2． 竞赛的基本要素43

6.3． 情报和前备性44

6.4． 前备性，传递性，信号45

7．竞赛的完全概念48

7.1． 每一着的特征的多变性48

7.2． 一般描述49

8．集合和分割53

8.1．用集合论的方法描述竞赛的优点53

8.2． 集合，它们的性质和图示法53

8.3． 分割，它们的性质和图示法55

8.4． 集合与分割在逻辑上的解释57

*9．竞赛的集合论描述59

*9.1． 用来描述一个竞赛的分割59

*9.2． 这些分割及其性质的讨论62

10.1．公理及其解释64

10．公理化描述64

10.2．公理在逻辑上的讨论66

10.3． 关于公理的一般说明67

10.4． 图示法67

11．策略和描述竞赛的最终简化方式69

11.1． 策略概念及其形式体系化69

11.2． 竞赛的描述的最终简化72

11.3． 策略在竞赛的简化形式里的作用74

11.4． 零和条件的意义74

12.1． 一般观点75

12.2． 一人竞赛75

12．概述75

第三章 零和二人竞赛：理论75

12.3． 机会和概率77

12.4． 下一步的任务77

13．函项运算77

13.1． 基本定义77

13.2． 运算Max和Min79

13.3． 关于可交换性的问题81

13.4． 混合情形．鞍点83

13.5． 主要事实的证明85

14．严格确定的竞赛87

14.1． 问题的描述87

14.3． 辅助竞赛的讨论89

14.2． 劣势和优势竞赛89

14.4．结论93

14.5． 严格确定性的分析95

14.6． 选手的互换．对称性97

14.7． 非严格确定的竞赛98

14.8．细致地分析严格确定性的程序99

15．具有完全情报的竞赛100

15.1． 讨论的目的．归纳法100

15.2． 精确条件（第一步）102

15.3． 精确条件（整个归纳法）104

15.4． 归纳法步骤的精确讨论105

15.5． 归纳法步骤的精确讨论（续）108

15.6． 完全情报情形下的结果110

15.7． 对国际象棋的应用112

15.8．文字的讨论113

16．线性和凸性115

16.1． 几何背景115

16.2． 向量运算116

16.3． 关于支承超平面的定理120

16.4． 关于矩阵的定理123

17．混合策略．一切竞赛的解127

17.1． 两个初等例子的讨论127

17.2． 上节观点的一般化128

17.3． 上述程序应用到单独一局上的可能性130

17.4． 劣势和优势竞赛（混合策略情形）132

17.5． 一般严格确定性133

17.6． 主要定理的证明135

17.7． 用纯策略和用混合策略处理的比较137

17.8． 一般严格确定性的分析139

17.9． 好策略的其它特征141

17.10．犯错误及其后果．永久最优性142

17.11．选手的互换．对称性145

第四章 零和二人竞赛：例子148

18．一些初等竞赛148

18.1． 最简单的竞赛148

18.2． 这些竞赛的详尽的定量讨论149

18.3．定性的说明152

18.4． 一些特殊竞赛的讨论（配铜钱的推广形式）153

18.5． 一些稍复杂些的竞赛的讨论156

18.6． 机会和不完全情报159

18.7． 以上结果的解释161

19．扑克和“偷鸡”162

19.1． 扑克的描述162

19.2． “偷鸡”164

19.3． 扑克的描述（续）165

19.4． 规则的精确叙述166

19.5． 策略的描述167

19.6． 问题的叙述170

19.7． 从离散的问题转到连续的问题171

19.8． 解在数学上的确定法173

19.9．解的详尽分析177

19.10．解的解释178

19.12．离散的各手牌181

19.11．扑克的更一般的形式181

19.13．m个可能的叫价182

19.14．轮流叫价184

19.15．全部解的数学描述188

19.16．解的解释．结束语190

第五章 零和三人竞赛192

20．概述192

20.1． 一般观点192

20.2． 合伙193

21.1． 竞赛的描述194

21.2． 竞赛的分析：“默契”的必要性194

21．三人简单多数竞赛194

21.3． 竞赛的分析：合伙．对称性的作用196

22．更多的例子197

22.1． 不对称分配．补偿的必要性197

22.2． 强弱不同的合伙．讨论198

22.3． 一个不等式．公式200

23．一般情形201

23.1． 详尽的讨论．非本质和本质竞赛201

23.2．全部公式202

24．一个反对意见的讨论204

24.1． 完全情报的情形及其意义204

24.2． 详尽的讨论．补偿在三个或更多个选手之间的必要性205

25．特征函数208

25.1． 主题和定义208

第六章 零和n人竞赛一般理论208

25.2． 概念的讨论209

25.3． 基本性质210

25.4． 直接推论211

26．从已知的特征函数构造竞赛212

26.1． 构造212

26.2． 总结214

27．策略等价关系．非本质和本质竞赛215

27.1． 策略等价关系．简化形式215

27.2． 不等式．量r217

27.3． 非本质性和本质性217

27.4． 各种准则．不可加的效用218

27.5． 本质情形里的不等式220

27.6． 特征函数的向量运算222

28．群、对称性和公平性223

28.1． 排列、排列群、排列对竞赛的影响223

28.2． 对称性和公平性226

29．零和三人竞赛的重新考虑228

29.1． 定性的讨论228

29.2． 定量的讨论229

30．一般定义的精确形式231

30.1． 定义231

30.2． 讨论和反复论述232

30.3． 饱和的概念233

30.4． 三个问题237

31.1． 凸部，平值性，判断控制性的一些准则238

31．直接推论238

31.2． 所有转归的系统．单元素的解243

31.3． 对应于策略等价关系的同构246

32．本质零和三人竞赛全部解的确定247

32.1． 数学问题的叙述．图示法247

32.2．全部解的确定249

33．结束语251

33.1．解的多重性．差别待遇及其意义251

33.2． 静态和动态253

第七章 零和四人竞赛254

34．概述254

34.1． 一般观点254

34.2． 本质零和四人竞赛的形式体系254

34.3． 选手的排列256

35．立方体Q中一些特殊的点的讨论258

35.1． 顶点Ⅰ（以及Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,）258

35.2． 顶点Ⅷ（以及Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ）．三人竞赛和一个“傀儡”260

35.3． 关于Q的内部的一些说明263

36．主对角线的讨论265

36.1． 邻近顶点Ⅷ的部分：启发式的讨论265

36.2． 邻近顶点Ⅷ的部分：精确的讨论268

36.3． 主对角线的其它部分272

37．中心及其周围273

37.1． 中心周围的条件的初步测定273

37.2． 两种可能情形和对称性的作用275

37.3． 中心处第一种情形276

37.4． 中心处第二种情形277

37.6． 不对称的中心解278

37.5． 两个中心解的比较278

38．中心的一个邻域的一族解280

38.1． 属于中心处第一种情形的解的变换280

38.2． 精确的讨论281

38.3．解的解释287

第八章 关于n≥5个参加者的一些说明289

39．各类竞赛中参数的数目289

39.1． n=3,4的情形289

39.2． 所有n≥3的情形289

40.1． 对称五人竞赛的形式体系291

40.2． 两个极端情形291

40．对称五人竞赛291

40.3． 对称五人竞赛和1,2,3-对称四人竞赛的关系293

第九章 竞赛的合成与分解297

41．合成与分解297

41.1． 能够确定全部解的n人竞赛的寻求297

41.2． 第一类型．合成与分解298

41.3． 精确定义299

41.4． 可分解性的分析301

41.5． 条件的修改的必要302

42．理论的修改303

42.1． 不完全放弃零和条件303

42.2． 策略等价关系．常和竞赛303

42.3．新的理论里的特征函数305

42.4． 新的理论里的转归、控制性和解307

42.5． 新的理论里的本质性、非本质性和可分解性308

43．分解的分割310

43.1． 分裂集合．组成部分310

43.2． 由全部分裂集合组成的系统的性质310

43.3． 由全部分裂集合组成的系统的描述．分解的分割311

43.4． 分解分割的性质313

44．可分解的竞赛．理论的进一步扩充315

44.1． （可分解的）竞赛的解和它的组成部分的解315

44.2． 转归与转归集合的合成和分解315

44.3．解的合成与分解．主要的可能性与推测317

44.4． 理论的扩充．外部来源319

44.5． 过剩额320

44.6． 过剩额的限制．新的结构中竞赛的非孤立特性321

44.7． 新的结构E（e0），F（e0）的讨论322

45．过剩额的限制．扩充的理论的结构324

45.1． 过剩额的下限324

45.2． 过剩额的上限．分离和全分离的转归325

45.3． 两个极限值｜Г｜1，｜Г｜2的讨论．它们的比值327

45.4． 分离的转归和不同的解．联系E（e0），F（e0）的定理329

45.5． 定理的证明331

45.6． 总结和结尾334

46．在可分解的竞赛中全部解的确定335

46.1． 分解的初等性质335

46.2． 分解及分解与解的关系：关于F（e0）的一些初步结果337

46.3． 续上节339

46.4． 续上节341

46.5． F（e0）中全部结果343

46.6． E（e0）中全部结果345

46.7． 部分结果的图形表示347

46.8． 解释：正常地带．各种性质的可传性348

46.9． 傀儡349

46.10．竞赛的嵌入350

46.11．正常地带的意义353

46.12．转移现象的第一次出现：n=6354

47．新的理论中的本质三人竞赛355

47.1． 讨论的必要355

47.2． 预备性的考虑355

47.3． 这一讨论中的六种情形．情形（Ⅰ）—（Ⅲ）357

47.4．情形（Ⅳ）：第一部分358

47.5．情形（Ⅳ）：第二部分360

47.6．情形（Ⅴ）363

47.7．情形（Ⅵ）365

47.8． 结果的解释：解里的曲线（一维部分）366

47.9． 续上节：解里的区域（二维部分）367

第十章 简单竞赛369

48．获胜和失败的合伙以及出现这些合伙的竞赛369

48.1． 41.1里的第一类型．取决于合伙369

48.2． 获胜和失败的合伙370

49．简单竞赛特征的表述372

49.1． 获胜和失败的合伙的一般概念372

49.2． 单元素集合的特殊作用374

49.3． 真实的竞赛中系统W,L的特征的表述375

49.4． 简单性的精确定义377

49.5． 简单性的一些初等性质377

49.6． 简单竞赛和它们的W,L．最小获胜合伙：Wm378

49.7． 简单竞赛的解379

50．多数竞赛和主要的解380

50.1． 简单竞赛的例：多数竞赛380

50.2． 齐性382

50.3． 直接应用转归概念形成竞赛的解383

50.4． 关于这一直接方法的讨论384

50.5． 与一般理论的关系．精确描述386

50.6． 结果的重新表述388

50.7． 结果的解释390

50.8． 与齐性多数竞赛的关系391

51．枚举全部简单竞赛的方法393

51.1． 初步的说明393

51.2． 饱和法：利用W的枚举法393

51.3． 从W转到Wm的理由．采用Wm的困难395

51.4． 另一种方法：利用Wm的枚举法397

51.5． 简单性和分解400

51.6． 非本质性、简单性与合成．过剩额的处理401

51.7． 以Wm表可分解性的判断准则402

52．n值较小时的简单竞赛405

52.1． 讨论程序：n=1,2无须讨论．n=3的解决405

52.2． n≥4时的程序：二元素集合及其在Wm的分类中的作用405

52.3．情形C*,Cn-2,Cn-1的可分解性407

52.4． [1,…,1,l-2]h（附有傀儡）以外的简单竞赛：情形Ck,k=0,1,…,n-3408

52.5． n=4,5的解决409

53．n≥6时简单竞赛的新的可能性410

53.1． 对n＜6观察到的规则性410

53.2． 六个主要的反例（对于n=6,7）411

54．适当竞赛里的全部解的确定417

54.1． 在简单竞赛里考虑主要解以外的其它解的理由417

54.2． 所有的解都为已知的竞赛的列举418

54.3． 考虑简单竞赛[1,…,1,n-2]k的理由419

*55．简单竞赛[1,…,1,n-2]k420

*55.1． 初步的说明420

*55.2． 控制关系．主导选手．情形（Ⅰ）和（Ⅱ）420

*55.3． 情形（Ⅰ）的解决421

*55.4． 情形（Ⅱ）：？的确定424

*55.5．情形（Ⅱ）：？的确定426

*55.6． 情形（Ⅱ）：？和S*429

*55.7．情形（Ⅱ′）和（Ⅱ″）．情形（Ⅱ′）的解决430

*55.8．情形（Ⅱ″）：？和V′．控制关系431

*55.9．情形（Ⅱ″）：V′的确定433

*55.10．情形（Ⅱ″）的解决437

*55.11．完整结果的重新归述440

*55.12．结果的解释441

第十一章 一般非零和竞赛446

56．理论的扩充446

56.1． 问题的陈述446

56.2． 虚设选手．零和扩充？447

56.3． 关于？的特性的问题448

56.4． 应用？的限制449

56.5． 两种可能的程序451

56.6． 有差别待遇的解452

56.7． 各种的可能性453

56.8． 理论的新的构成454

56.9． Г为零和竞赛的情形的重新考虑455

56.10．控制概念的分析459

56.11．严格的讨论462

56.12．解的新定义464

57．特征函数和有关的讨论问题465

57.1．特征函数：扩充的和限制的形式465

57.2． 基本性质465

57.3． 全部特征函数的确定467

57.4． 选手的可移去集合469

57.5． 策略等价关系．零和与常和竞赛471

58．特征函数的解释474

58.1． 定义的分析474

58.2． 争取获得和转嫁损失的企图475

58.3． 讨论476

59．一般的考察477

59.1． 程序的讨论477

59.2． 简化形式．不等式478

59.3． 几个讨论题目480

60．n≤3的全部一般竞赛的解482

60.1．n=1的情形482

60.2．n=2的情形483

60.3． n=3的情形484

60.4． 与零和竞赛的比较488

61．n=1,2的结果的经济学的解释488

61.1． n=1的情形488

61.2． n=2的情形．二人市场488

61.3． 对二人市场及其特征函数的讨论490

61.4． 58中所采取的观点的验证492

61.5． 可分割的商品．“边际对偶”492

61.6． 价格．讨论495

62．n=3的结果的经济学的解释：特殊情形497

62.1． n=3的情形，特殊情形．三人市场497

62.3． 解：第一种分支情形498

62.2． 初步讨论498

62.4． 解：一般形式501

62.5． 结果的代数形式502

62.6． 讨论503

63．n=3的结果的经济学的解释：一般情形504

63.1． 可分割的商品504

63.2． 不等式的分析506

63.3． 初步讨论508

63.4． 解508

63.5． 结果的代数形式510

63.6． 讨论511

64．一般市场513

64.1． 问题的陈述513

64.2． 一些特性．卖方独占和买方独占515

第十二章 控制关系和解的概念的推广517

65．推广．特殊情形517

65.1． 问题的陈述517

65.2． 一般的说明518

65.3． 顺序关系，传递性，非循环性519

65.4． 解：对于对称关系．对于完全顺序关系521

65.5． 解：对于偏序关系522

65.6． 非循环性和严格非循环性524

65.7． 解：对于非循环关系527

65.8． 解的唯一性，非循环性和严格非循环性529

65.9． 应用至竞赛：离散性和连续性531

66.2． 第一阶段的讨论533

66.1． 普遍化．理论处理的两个阶段533

66．效用概念的普遍化533

66.3． 第二阶段的讨论534

66.4． 统一这两个阶段的愿望536

67．对一个例子的讨论537

67.1． 这个例子的描述537

67.2． 解及其解释539

67.3． 普遍化：不同的离散效用表542

67.4． 关于价格磋商的结论543

附录 效用的公理化545

A.1． 问题的表述545

A.2． 由公理所得推论546

A.3． 结束语555