《平差计算 习题题解》

第Ⅰ篇 非相关观测1

习题：1

Ⅰ1　根据真误差计算中误差1

目录1

Ⅰ1.1　根据对真值的偏差计算中误差4

Ⅰ1.1-Nr.1：光学测距的中误差4

-Nr.2：量取坐标的中误差5

Ⅰ1.2　观测值之差的中误差6

Ⅰ1.2-Nr.1：水准测量一公里的中误差6

Ⅰ1.3-Nr.1：由三角形闭合差计算角度中误差7

Ⅰ1.3　由不符值计算中误差7

-Nr.2：由三角形闭合差计算方向中误差9

Ⅰ2　非相关观测的误差传播定律11

Ⅰ2.1　观测量的线性函数的中误差13

Ⅰ2.1-Nr.1：由分段水准测量求得的高差中误差14

-Nr.2：双程水准测量所必需的重复次数14

Ⅰ2.2　观测量的非线性函数的中误差15

Ⅰ2.2-Nr.1：几何中数的中误差15

-Nr.2：附加的从点的中误差15

-Nr.3：矩形面积的中误差16

-Nr.4：直角三角形斜边的中误差17

-Nr.5：三角形一边的中误差18

-Nr.6：采用水平辅助三角形测定塔高的20

中误差20

-Nr.7：度盘偏心常数的中误差21

-Nr.8：求积仪常数的中误差23

-Nr.9：中误差双曲线24

-Nr.10：总垂线偏差的中误差25

-Nr.11：平均垂线曲率的中误差26

-Nr.12：埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前276～195年，希腊学者）地球周长的测定27

Ⅰ2.3-Nr.1：水准器气泡置中误差的测定28

Ⅰ2.3　有形的误差传播28

-Nr.2：经纬仪照准误差的测定29

-Nr.3：角度的单测方式与复测方式的比较30

Ⅰ2　非相关观测的平差31

Ⅰ3.1　直接观测的平差31

Ⅰ3.1-Nr.1：角度的加权平均值33

-Nr.2：水准环线的平差34

Ⅰ3.2　间接观测平差35

Ⅰ3.2-Nr.1：无多余观测时的计算步骤37

-Nr.2：在一测站上多次测定的方向角39

-Nr.3：全组合测角41

-Nr.4：一个站点上的方向组及复测角42

-Nr.5：不完全方向组，依克拉克（Clark）45

迭代法平差45

-Nr.6：水准网，依对于标准零点的高程进行间接观测平差48

-Nr.7：水准网，运用重复取中数法平差55

-Nr.8：沉陷地区的水准网57

-Nr.9：根据方向观测插入双点59

-Nr.10：用于求三角高程测量中折射的斜距60

或平距60

-Nr.11：运用方向、角度及距离观测插入三点63

-Nr.3：两个附合点不可靠的自由水准网 （174

-Nr.12：桥梁控制网中精度的提高77

-Nr.13：通过陀螺仪观测插入导线80

-Nr.14：运用附加高程角的空间测边交会86

-Nr.15：空间导线90

-Nr.16：有多余观测和无多余观测的空间交会95

-Nr.17：塔高测定100

-Nr.18：运用摄影测量获得的位置角进行空间后交会103

-Nr.19：平差直线及平差抛物线之下的面积108

精度108

-Nr.20：平差抛物线切线升角的中误差111

-Nr.21：借助于高斯算法建立正交多项式113

-Nr.22：精密缩放仪的调置116

Ⅰ3.3条件观测平差119

Ⅰ3.3-Nr.1：水准网的直接平差和逐步平差121

（高斯-福格勒法）121

-Nr.2：在一条无误差的基线上的检定测量123

-Nr.3：通过闭合差分配进行全组合角度观测平差128

-Nr.4：将一高点引下130

-Nr.5：带有两条观测边长的三角网134

-Nr.6：观测角度及距离的局部三角形144

-Nr.7：插有中间点的三角形中的基线传递147

-Nr.8：观测角度及距离的三射线中点形150

-Nr.9：完全四边形154

-Nr.10：带有大地四边形的三角锁159

-Nr.11：通过改正数方程的测边网条件平差163

-Nr.12：根据条件方程的平差抛物线166

Ⅰ3.4　带有未知数间条件方程的间接观测平差167

Ⅰ3.4-Nr.1：质量均衡的高程断面169

-Nr.2：事先给定的平差抛物线的切线方向172

-Nr.4：内精度与伪逆177

-Nr.5：样条函数181

Ⅰ3.5　带有未知数的条件观测平差185

Ⅰ3.5-Nr.1：使用未检定的标尺所测设的水准网186

-Nr.2：由局部中点四边形的归心元素189

-Nr.3：以微波测距仪加常数作为未知量的192

三边测量大地四边形锁192

Ⅰ3.6　特殊情况：拟间接观测193

Ⅰ3.6-Nr.1：由天顶距观测结果测时和纬度194

（高度-位置线法）194

-Nr.2：平差圆196

-Nr.3：漏斗形井坑的最或是模型198

-Nr.4：平差抛物线法线角的精度201

Ⅱ1　相关矩阵及权矩阵204

第Ⅱ篇　相关观测204

Ⅱ1-Nr.1：等强度相关观测的矩阵求逆207

Ⅱ2　相关观测的误差传播定律208

Ⅱ2.1　一般情况208

Ⅱ2.2　单一函数中误差的计算209

Ⅱ2.2-Nr.1：由相关距离测量结果求定的长方形面积的中误差209

-Nr.2：焦距的中误差210

-Nr.3：往测及返测之间的相关性212

-Nr.4：带有递归相关矩阵的等精度观测之和的中误差213

-Nr.5：拉普拉斯方程不符值的中误差215

Ⅱ2.3-Nr.1：用三角测高法测定的高差的Q矩阵216

互方差-协方差矩阵的计算216

Ⅱ2.3　相关和非相关观测的多种函数216

-Nr.2：方向偏心量之间的Q矩阵218

-Nr.3：检定函数非等精度时相关距离间的219

Q矩阵219

-Nr.4：附加的从点的相关矩阵和中误差椭圆220

-Nr.5：平滑平均值之间的相关性222

-Nr.6：累积的总和之间的相关性224

-Nr.7：算术中数、几何中数以及调和中数之间的相关性226

Ⅱ3　相关观测平差227

Ⅱ3.1　直接观测平差228

Ⅱ3.1-Nr.1：相关天顶角的平均值230

-Nr.2：由相关距离求算术中数233

Ⅱ3.2　间接观测平差235

Ⅱ3.2-Nr.1：拟合推估问题的赫尔默特技巧238

-Nr.2：带有观测未知数的水准测量网240

-Nr.3：通过相关距离和水平方向测定单点243

-Nr.4：两个不可到达的高点247

-Nr.5：带有相关斜距的空间导线252

-Nr.6：时序分析256

Ⅱ3.3　条件观测平差261

-Nr.1：含有两条相关基线的局部三角网262

所得的高差267

-Nr.2：待放样的隧道两洞口间由三角测高267

-Nr.3：运用角度及相关距离测定塔高274

Ⅱ3.4　带有未知数间条件方程的间接观测280

平差280

Ⅱ3.4-Nr.1：圆弧段的测量282

-Nr.2：在两新点间距离无误差的情况下采用方向及相关距离进行双点插入287

Ⅱ3.5　带有未知数的条件观测平差293

Ⅱ3.5-Nr.1：根据摄影的恒星记录进行纬度测定295

Ⅱ4.1　条件-条件方组平差298

Ⅱ4.1-Nr.1：局部网内相继的位置平差和高程平差298

Ⅱ4　分组平差298

Ⅱ4.2　间接-间接分组平差302

Ⅱ4.2-Nr.1：检定观测与三边测量302

-Nr.2：道路桥梁的垂曲度307

Ⅱ4.3　分组平差的拟合与推估313

Ⅲ4.3-Nr.1：拟合推估的数值例题313

第Ⅲ篇　统计检验法320

Ⅲ1　拟合度检验法320

Ⅲ1-Nr.1：三角形闭合差正态分布的检验323

-Nr.2：剩余的方向改正数及边长改正数正态分布的检验324

-Nr.3：方向改正数及边长改正数偏度及峰度的检验327

Ⅲ2　方差比检验法329

Ⅲ2-Nr.1：两个测站平差的比较331

-Nr.2：由观测值之差所得的方向中误差与由圆周闭合差所得的方向中误差的比较332

-Nr.3：检验测站平差的方向中误差与网平差的方向中误差332

-Nr.4：相对于平差直线检验平差抛物线334

-Nr.5：多个度盘位置上的角度观测结果的335

方差分析335

-Nr.6：在采矿区由于地面沉降而增大的337

水准测量一公里中误差的检验337

Ⅲ3　巴特莱的同一性检验法338

Ⅲ3-Nr.1 ：多次水准测量一公里中误差的同一性检验338

Ⅲ4　参数检验法340

Ⅲ4-Nr.1：由一次插点所得坐标未知数的逐个347

检验347

-Nr.2：两个角度平均值之差的检验347

-Nr.3：相对于起始点位置的点位变化的检验348

-Nr.4：平差后网的方向是否满足拉普拉斯条件的检验350

-Nr.5：根据重复水准测量检验高程值351

-Nr.6：两高程网或两重力网之间各个间隙值的检验356

-Nr.7：当已知中误差时，因瓦基线尺测量偏差的检验358

-Nr.8：借助于相关系数进行线性检验359

Ⅲ5　超限误差检验法360

Ⅲ5-Nr.1：播点测量中超限误差的检验362