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前言页1

前言1

绪论1

1.数值线性代数的基本问题1

2.研究数值方法的必要性2

3.矩阵分解是设计算法的主要技巧4

4.敏度分析与误差分析4

5.算法复杂性与收敛速度6

6.算法的软件实现与现行数值线性代数软件包7

7.符号说明8

第一章 线性方程组的直接解法11

1.1.1 三角形方程组的解法12

1.1 三角形方程组和三角分解12

1.1.2 Gauss变换14

1.1.3 三角分解的计算16

1.2 选主元三角分解20

1.3 平方根法27

1.4 分块三角分解33

习题35

上机习题39

第二章 线性方程组的敏度分析与消去法的舍入误差分析41

2.1 向量范数和矩阵范数41

2.1.1 向量范数41

2.1.2 矩阵范数43

2.2 线性方程组的敏度分析51

2.3 基本运算的舍入误差分析55

2.4 列主元Gauss消去法的舍入误差分析62

2.5 计算解的精度估计和迭代改进67

2.5.1 精度估计67

2.5.2 迭代改进71

习题72

上机习题74

第三章 最小二乘问题的解法76

3.1 最小二乘问题76

3.2 正交变换84

3.2.1 Householder变换84

3.2.2 Givens变换89

3.3 正交化方法91

习题96

上机习题98

第四章 线性方程组的古典迭代解法100

4.1 Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代101

4.1.1 Jacobi迭代101

4.1.2 Gauss-Seidel迭代102

4.2 Jacobi与G-S迭代的收敛性分析102

4.2.1 收敛的充分与必要条件102

4.2.2 收敛的充分条件及误差估计105

4.3 收敛速度117

4.3.1 平均收敛速度和渐近收敛速度117

4.3.2 模型问题119

4.3.3 Jacobi和G-S迭代的渐近收敛速度121

4.4.1 迭代格式123

4.4 超松弛迭代法123

4.4.2 收敛性分析124

4.4.3 最佳松弛因子125

4.4.4 渐近收敛速度130

4.4.5 超松弛理论的推广130

习题134

上机习题137

第五章 共轭梯度法139

5.1 最速下降法139

5.2 共轭梯度法及其基本性质144

5.2.1 共轭梯度法144

5.2.2 基本性质147

5.3.1 实用共轭梯度法150

5.3 实用共轭梯度法及其收敛性150

5.3.2 收敛性分析151

5.4 预优共轭梯度法153

5.5 Krylov子空间法157

5.5.1 正则化方法157

5.5.2 残量极小化方法157

5.5.3 残量正交化方法158

习题158

上机习题160

第六章 非对称特征值问题的计算方法161

6.1 基本概念与性质161

6.2 幂法165

6.3 反幂法169

6.4.1 基本迭代与收敛性174

6.4 QR方法174

6.4.2 实Schur标准形177

6.4.3 上Hessenberg化178

6.4.4 带原点位移的QR迭代184

6.4.5 双重步位移的QR迭代185

6.4.6 隐式QR算法192

习题194

上机习题200

第七章 对称特征值问题的计算方法202

7.1 基本性质202

7.2 对称QR方法204

7.2.1 三对角化204

7.2.2 隐式对称QR迭代206

7.2.3 隐式对称QR算法209

7.3 Jacobi方法210

7.3.1 经典Jacobi方法210

7.3.2 循环Jacobi方法及其变形215

7.3.3 Jacobi方法的并行方案217

7.4 二分法218

7.5 分而治之法224

7.5.1 分割225

7.5.2 胶合226

习题232

上机习题236

参考文献237