《关Lp-Brunn-Minkowski理论中仿射表面积、几何表面积和含参数几何体的研究》

该项目属于数学中凸几何分析领域的Lp-Brunn-Minkowski理论。该理论在Brunn-Minkowski理论基础上,由美国著名数学家Lutwak于1993-1996年创立,是国际上近20多年来十分活跃且发展非常迅速的凸几何分析热点研究领域。该项目利用积分变换、解析不等式理论和Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念和方法,对Lp- Brunn-Minkowski理论中Lp-仿射表面积、Lp-几何表面积和含参数Lp-几何体进行研究,共发表相关学术论文75篇(SCI收录53篇、CSCD期刊22篇),其中代表作被引137次,他引132次。该项目主要取得创新成果如下:

1.提出并研究了凸体的i次Lp-混合仿射表面积、星体和多重星体的Lp-对偶混合仿射表面积,建立了若干相关的几何不等式,拓广了Lp-Brunn-Minkowski理论中Lp-仿射表面积的研究范围。此外,结合Lp-对偶仿射表面积,探讨了著名的Busemann-Petty问题。

2.首次引入了星体的Lp-对偶几何表面积、Lp-对偶混合几何表面积和多重星体的Lp-对偶混合几何表面积,创新性地给出了Lp-对偶几何表面积和多重体的Lp-对偶混合几何表面积的积分表达式,建立了相关的Aleksandrov-Fenchel型和Blaschke-Santalo型不等式,丰富了Lp-Brunn-Minkowski理论的研究内容。

3.建立了广义Lp-Petty仿射投影不等式,推广了著名的Petty仿射投影不等式;给出了含参数Lp-投影体的Shephard问题的体积和Lp-仿射表面积形式;系统地解决了含参数Lp-投影体极值的体积、均质积分和对偶均质积分形式;作为含参数Lp-投影体的应用,定义并研究了含参数Lp-混合亮度积分。

4.引入了含参数Lp-相交体,系统地给出了含参数Lp-相交体的体积和Lp-对偶仿射表面积的极值,得到了含参数Lp-相交体的Busemann-Petty问题的肯定与否定解的体积和Lp-对偶仿射表面积形式,特别得到了Lp-Busemann-Petty问题的非对称否定解。

5.定义了含参数Lp差分体、含参数Lp-质心体、含参数Lp-调和Blaschke体、含参数Lp-对偶Blaschke体和含参数Lp-径向体,分别给出了它们极值的体积、均质积分和对偶均质积分形式,给出了它们的Shephard问题的肯定形式和否定解,建立了若干相关的极值不等式;作为含参数Lp-径向体的应用,定义并研究了含参数Lp-混合弦积分。

该项目成果不仅丰富了Lp-Brunn-Minkowski理论,而且把该理论拓广到非对称情形,具有很好的理论意义。

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