《具有时滞二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性和唯一性研究》

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课题来源与背景:微分方程是研究自然科学、工程技术及社会经济发展规律的重要工具。由于周期系统与周期解反映了自然界的周期运动规律,周期解的存在性体现了系统的一种结构平衡性,由于考虑时滞的影响,泛函微分方程比常微分方程更能客观反映事物的发展规律,这使得泛函微分方程周期解理论有着广泛的应用背景和研究价值。广西自然科学基金委、广西科技厅基础研究部给予泛函微分方程周期解理论的基础研究以大量支持。在2013年给予立项研究。研究目的与意义:“具有时滞二阶中立型泛函微分方程周期解的存在性和唯一性研究”以探索和发展泛函微分方程周期解理论的基本理论和建立新的研究方法及新的实验技术为基本出发点,提倡多种理论交叉,注重基础研究,实现以下目标:(A)综合运用现代数学中的代数学、数学分析、微积分学、不等式理论、拓扑度理论和方法,以中立型泛函微分方程周期解研究所涉及的新概念、新结构、新方法为突破口,在理论和应用上有所突破,提高广西一般高校在中立型泛函微分方程周期解研究领域的整体能力;(B)解决一些实际问题中提出的泛函微分方程周期解是否存在的问题,为科技发展做储备;(C)通过研究项目的实施,稳定支持一批具有创新意识、思维活跃、立足广西的科研人才队伍,培养和造就一批在泛函微分方程周期解理论研究领域国内同行公认的广西研究专家。具体在该项目,以上3个目标已基本到达。主要论点与论据:随着科学技术的发展,用来描述客观世界的微分方程越来越复杂,对微分方程解的精度要求越来越高,这样就需要建立新的分析方法作为研究的工具。时滞微分方程的定量研究需要新的分析方法作为工具。重合度理论是研究时滞泛函微分方程周期解唯一性的重要工具,然而这方面的研究甚少。该项目主要研究不等式和重合度理论,并利用该类不等式和重合度理论给出时滞微分方程周期解问题的解的估计,进而研究解的存在性、特别是周期解的存在性、唯一性等性质。创见与创新:(A)利用重合度理论和不等式分析技巧,给出一些新的估计式,研究了几类时滞中立型泛函微分方程存在周期解的充分条件,推广和改进了已有文献的相关结果。(B)不等式在力学和工程有着重要的应用,尤其是在非光滑分析和优化。课题组主要考虑由发展H-半变分所描述的控制系统的最优反馈控制。通过运用集值映射和Clarke’s次微分等性质,课题组给出了一些保证反馈控制系统可行对存在的充分条件。课题组也证明了最优控制问题最优控制对的存在结果。建立了一类新的非连续函数积分不等式,研究了方程等式左端为未知函数的非线性项的类型。并给出未知函数的上界估计。讨论了一类具有弱奇异Volterra-Fredholm型的差分不等式。用嵌入未知函数的上界,通过分析技术,明确地给出上界估计。应用到Volterra型微分方程的估计中,得到方程存在解的条件。用非齐次诺伊曼边界条件的椭圆型变H-半变分不等式对诺伊曼共振和非共振存在性问题(HVI)进行了解的存在性研究,给出问题(HVI)至少有一个解的几个充分条件。应用Clarke’s广义梯度的概念和第一本征函数的性质,课题组还建立一个关于椭圆型变H-半变分不等式的非光滑结构的Landesman-Lazer理论。并给出了一个在静态摩擦接触问题的应用举题。存在的问题:唯一性研究内容参考文献较少,而给出唯一性条件要求较高。课题组研究了几类微分方程的存在唯一周期解的条件,只发表一篇存在唯一性条件的文章。

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