《表1 Lanczos算法与精化Lanczos算法的收敛效果》

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《大规模非对称线性方程组Lanczos算法和精化Lanczos算法的对比》

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收敛效果分为收敛速度和收敛结果两个部分．收敛速度就是看收敛过程中是否会影响到下一个数值的求解或者是下一个步骤的进行．收敛速度越快，算法性能越好．而收敛结果，则是收敛在收敛过程中在内存消耗上的程度．这种效果分为算法处理过程中和算法处理结束后的收敛情况．算法处理过程中可通过自身的收敛检验来维持整个算法运行过程中的收敛效果，避免内存消耗过大影响算法处理进程，甚至导致整个算法在运行当中因内存的问题使得整个算法陷入瘫痪．尤其是在运行过程中，会产生很多分解向量，在算法结束会将分解向量在整合在一起，但运行过程中所占用的分解存储空间会影响算法运行效率．一般的Lanczos算法采取的是正交投影的相交方式，而精化Lanczos算法为了节省存储空间将算法转换成双正交的方式进行．对矩阵A进行Lanczos上双对角化，然后计算约化后的矩阵的奇异值分解，用得到的最大奇异值及其对应的左右奇异向量来作为A的最大奇异组的近似[8]．投影矩阵与原始矩阵具有同样的形式，并且在数学上这个算法等价于对增广矩阵的一个过程，但是在实际实现的时候都是直接对原始矩阵A进行处理的．将向量转变成双对角化，这样可以保证矩阵中向量的正交性．转换后即可进行正交算法，即可形成Hm，．由于在Lanczos过程在有限精度下双正交性会不断失去，所以在实际计算中，先进行双对角化且需要做重新双正交化，并在运行过程中，实时进行精化向量计算和收敛程度检验，这意味着双正交Lanczos方法比精化双正交Lanczos方法在运算量上要大很多，由于精化Lanczos方法自身具备检验收敛功能，所以可以实时对收敛情况进行控制[8，9]．在实际运算过程中最终的收敛效果体现在内存消耗因数上．就算法效果的具体收敛数据结果如表1所示．