《表3 谱图卷积神经网络：多媒体信号处理的数学理论前沿进展》

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《多媒体信号处理的数学理论前沿进展》

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鉴于谱图信号处理是传统信号处理理论在图域上的扩展，主要介绍谱图卷积神经网络的最新进展。表3为谱图卷积神经网络概述。谱图信号处理适用于所有定义在具有非负权重的无向图上的信号。图傅里叶变换以对称正定的图拉普拉斯矩阵的完备正交基作为傅里叶基，以特征值作为图频谱（Shuman等，2013）。其中具有较小特征值的特征向量表征在图上缓慢变化的低频图信号，而大特征值对应的特征向量表征高频图信号。基于图傅里叶变换，可将传统信号处理理论中的平移、卷积和调制等概念被扩展到图信号域，形成图滤波器设计的基本理论（Hammond等，2011；Shuman等，2013）。考虑图傅里叶变换是一种全局变换，其对应的基包含了所有节点，可以考虑扩展传统信号处理中的短时傅里叶变换和小波变化，提升局部特性（Hammond等，2011；Shuman等，2016b）。并可进一步考虑图信号的多尺度奇异性，Coifman和Maggioni（2006）根据扩散模型利用不同尺度的扩散算子的压缩表示来捕捉图信号在不同分辨率下的奇异性。Shuman等人（2015）进一步提出了自适应于图频谱分布的紧框架的小波变换。由此，发展出基于图下采样、图缩减、图滤波和图上采样框架的多尺度图拉普拉斯变换（Shuman等，2016a）。为了使得信号变换适应于特定的图信号，获得对于信号最优的变换，扩散小波包（Bremer等，2006）、基于深度学习的图小波变换（Rustamov和Guibas，2013）以及基于树结构的小波变换（Ram等，2011）相继被提出。