《自守L-函数与广义相对论》

该项目任务来源于国家自然科学基金委下列项目:

(1)天元项目:对称L函数的二次积分均值及其应用,11126151,主持人:唐恒才,已结题;

(2)天元项目:小区间上的华林-哥德巴赫问题,11126325,主持人:赵峰,已结题;

(3)青年项目:对称平方L-函数的均值估计及其应用,11301142,主持人:唐恒才,已结题;

(4)青年项目:叶状结构上正数量曲率问题的一些研究,11401168,主持人:王耀华,已结题;

(5)青年项目:模形式的算术性质及其应用,11101123,主持人:陈士超,已结题。

项目所属领域为数学,主要是基础数学中的数论、微分几何与数学物理方向,特别是自守L-函数与广义相对论。自守形式与L-函数是现代解析数论中的重要分支之一。零点分布(广义Riemann假设),亚凸性估计(Lindelof猜想)及Fourier系数的估计(Ramanujan猜想,Sato-Tate猜想)是现代数论研究的热点问题。三者之间相互联系,绘制出一幅关于L-函数研究前景的宏伟蓝图。申请人及其合作者主要研究了高维自守L-函数的解析性质,特别是尖形式Fourier系数的均值估计及组合性质,探讨了其在对应L-函数的零点分布、亚凸性估计中的应用。在高维L-函数的广义Riemann假设、Lindelof猜想方面取得一定程度的进展。另一方面,广义相对论的核心任务是研究物理时空的几何,时空需要满足Einstein引力场方程。Einstein引力场方程的复杂性使其成为了数学物理研究中极富有挑战性的研究领域,至今还是公开问题。其中,能量问题一直是广义相对论中的核心课题之一,它与模形式之间有着紧密的联系。申请人及合作者彻底解决了负宇宙学常数时的正能量猜想。

1)给出了关于自守L-函数Fourier系数的新的均值估计,某些方面得到了最优的结果,在相对弱的条件下证明了与Sato-Tate猜想一致的结果。改进了Ivic, Ichihara,山东大学吕广世教授、香港大学刘旭金教授等现有结果。另外,申请人与合作者在模形式Fourier系数的分布问题上,克服了Ramanujan猜想和例外特征值带来的障碍,给出了Fourier系数的分布规律,得到了明确的测度。

2) Einstein引力场方程是广义相对论研究中的一个核心课题。正能量猜想是一个重要问题。项目组成员王耀华及合作者探讨了广义相对论中一般情形下3+1维渐近anti-de Sitter时空的的正能量定理,证明了负宇宙学常数最一般情形的总能量、总动量和总角动量不等式并找到负宇宙学常数不变质量,彻底解决了负宇宙学常数时的正能量猜想。结果被著名数学家丘成桐教授引用。对带电磁场的3+1维渐近anti-de Sitter时空的正能量定理进行了讨论,揭示了能量动量与电磁动量之间的关系。

3)引入尖形式Fourier系数的均值估计这一新技术,给出了自守L-函数新的零点密度估计。论文结果被美国Iowa大学叶扬波教授、山东大学任秀敏教授引用。尝试性的探讨了自守L-函数与素数分布、非线性SchrÄodinger方程之间的联系,为研究古典的数论问题提供了新思路。该成果被著名数学家Wooley教授引用。

总之,项目组成员的研究结果对自守L-函数的广义Riemann假设、Lindelof猜想、广义Ramanujan猜想以及时空正能量定理等产生了重要影响。

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