《临界点理论及其对非线性微分方程的应用》

临界点理论是非线性泛函分析重要理论分支之一,同时也是近代变分法的理论基础,通过研究临界点的性质可以解释物理、生态学、天体力学和其他科学领域中许多重要现象。由于近代变分法始于上世纪七十年代,许多基础性的临界点理论问题有待于深入研究,其应用研究也有待于进一步拓展。

项目第一完成人于2003-2006年在中科院数学所跟随导师丁彦恒研究员攻读博士学位,其余两位完成人于2002-2005年在中科院数学所分别跟随丁彦恒研究员、李树杰研究员攻读博士学位。三位完成人对临界点理论及其应用进行了系统的学习,展开了一系列的研究,取得了下述具有一定国际影响力的创新性研究成果。

(1)在缺失Palais-Smale紧性条件时重建下降流不变集和(定号、变号)临界点理论。该工作是临界点理论和拓扑方法相结合的典范,推广了刘兆理教授和孙经先教授在临界点理论体系中建立在Palais-Smale紧性下的下降流不变集和变号临界点理论。研究非局部基尔霍夫问题,得到了非平凡解、正解、负解、变号解,并提出了新的超线性条件,推广了Ambrosetti-Rabinowitz条件(该条件是由意大利科学院院士A.Ambrosetti和美国科学院院士P.Rabinowitz共同提出的),运用非光滑临界点理论和构造新的加权函数空间的方法研究了全空间上具有“缺乏次临界增长条件、非线性项是不连续函数”特点的非局部基尔霍夫问题,获得了无穷多个负能量解。

(2)项目利用一个新的伪梯度向量场在一个新型的更宽松的紧性条件“Cerami型紧性条件”下建立了一个新的形变引理,其特点是脱离了(PS)紧性的限制,改进了比利时科学院院士M.Willem的工作,拓展了极小极大理论的应用范围。项目建立了一个新的局部环绕定理,特点是引进了一个新型紧性条件“Cerami*”紧性条件,脱离了(PS)*紧性的束缚,该成果改进了比利时科学院院士M.Willem与中科院李树杰研究员的局部环绕定理。

(3)在C^1光滑性前提下,利用度量空间的仿紧性质构造新的伪梯度向量场函数,构建新的伪梯度下降流和形变引理,利用亏格理论建立了存在无穷多变号解的抽象定理;结合环绕理论和锥理论得到了n-1对变号临界点、1对正、负临界点,建立了半序空间中能对临界点进行定位的环绕定理;该成果推广了经典的Clark定理。在研究薛定谔-泊松方程时,所做的次临界和超线性假设都是要求在原点的局部邻域上成立,得到一族正的耦合解,且具有集中性和衰减性性质。

研究成果发表在非线性分析领域国际著名学术期刊Nonlinear Anal.,J.Math.Anal.Appl.,Discrete Continuous Dynamical Systems等上面。八篇代表性论文他人引用总次数417次,SCI他引313次,有两篇入选ESI高被引论文,其中一篇SCI他引191次。研究工作得到了国家杰青、美国、意大利、德国、台湾、巴西、加拿大等国内外众多著名学者,以及J.Differential Equations,Ann.I.H.Poincare-AN,Annali di Matematica等国际权威期刊论文的高度评价和长篇幅介绍。

项目第一完成人有4篇ESI高被引论文,其中一篇(代表性论文[1])SCI他引191次,已成为国际同行研究非局部基尔霍夫问题的常规引文。

  1. 下载详细PDF版/Doc版

提示:为方便大家复制编辑,博主已将PDF文件制作为Word/Doc格式文件。