《有限体积元方法的构造、分析及应用》

该项目对有限体积元方法中的一些重要问题进行了较为系统的研究,提出了一些新方法、新技巧,完成了一些具有原创性的工作。这一研究方向是国际上微分方程数值解法的最前沿方向。研究工作主要集中在以下四个方面。

一、有限体积元方法两层网格算法的构造和分析。

两层网格有限元算法自提出以来,得到各国学者的深入研究,已成为求解各类非线性问题的有效算法。原创性地提出了有限体积元方法的两层网格算法,把细网格上非线性问题的求解转化为粗网格上非线性问题和细网格上线性化问题的求解,从而大大降低了非线性问题的求解难度,提高了计算速度和精度。在该项目中,对于二阶非线性椭圆、抛物和双曲问题,构造了有限体积元方法两层网格算法的计算格式,完整地给出了稳定性和收敛性的理论分析结果。二、高次有限体积元方法的构造和分析。

1.四边形网格二次有限体积元方法。在国际上首次提出“张量积+分块矩阵”的研究思路,巧妙地解决了四边形网格二次有限体积元方法解的存在唯一性与误差估计,为四边形网格的高次有限体积元研究提供了新技巧;提出了挖掘对偶剖分与数值格式“非对称”之间的研究思路,促使了非稳态问题二次有限体积元方法的研究。

2.四边形网格任意次有限体积元方法。基于Gauss-Legendre数值积分和新型转移算子,在任意次有限体积元方法与有限元方法之间建立桥梁,将现有四边形网格有限体积方法的研究成果纳入了一个统一框架,并给出了更加一般的理论分析结果。

三、有限体积元方法的先验和后验误差估计。

较系统地研究了有限体积元方法的先验误差和后验误差估计。对于二阶线性椭圆问题和各类二阶非线性椭圆问题,建立了有限体积元方法的先验误差估计和残量型后验误差估计理论,给出了最优阶先验误差估计和逼近误差在H1范数意义下的可靠性和有效性的证明,数值模拟验证了我们的理论结果。

四、间断有限体积元方法的构造和分析。

对于二维线性椭圆问题,提出了一种新型间断有限体积元方法,证明了这种新型有限体积元方法是间断有限元方法的一个扰动,得到了间断有限元解和间断有限体积元解在能量范数意义下的超逼近性质,揭示了新型有限体积元方法与间断有限元方法的密切联系。利用这种超逼近估计,容易地得到间断有限体积元方法的L2范数的最优阶误差估计和最大模估计,并将结果推广到抛物问题。

有限体积元方法的应用主要集中在热传导型半导体器件的数值模拟。

自2003年以来,围绕以上四个方面展开研究,在Numer.Math.、SIAM J.Numer.Anal.、IMA J.Numer.Anal.、ESAIM: Math.Model.Numer.Anal.、Appl.Numer.Math.等计算数学领域国际一流学术期刊上发表60余篇论文,其中有20余篇论文发表在JCR一区期刊上。8篇代表性论文他引146次,其中SCI他引112次,单篇最高他引51次,其中SCI他引38次。工作得到了国内外专家的肯定。作为主持人,共获得5项国家自然科学基金和5项山东省自然科学基金的资助。“有限体积元方法的理论研究及应用”(陈传军、毕春加、杨旻)获得2016年度山东省高等学校科学技术奖一等奖。

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