Cauchy变换在位势理论、概率论、解析容量、集合的完全不可求长等方面均有应用，是一个重要的工具。分形几何由Mandelbrot在1975年提出，分形集已被学术界广泛关注。分形集上的调和分析研究从上世纪八十年代末开始，取得了丰富的成果，形成了一个热门的研究方向。相伴兴起的研究有：分形集上的Brownian运动，分形集上的Laplacian，分形集上的Fractal微分方程，分形集上的Green函数，分形集上的小波和分形集上的函数空间等。然而，分形集上的复分析直到1998年才由著名数学家、康奈尔大学Strichartz教授开始研究，他及其合作者使用计算机模拟发现了Sierpinski垫上的Cauchy变换的许多奇怪的几何性质，因此提出了一些有趣的猜测。　　经典的复积分总在光滑曲线或具有光滑边界的平面区域这样具有整数维的几何集上考虑，例如Cauchy型积分和Cauchy变换。而用分形集来代替这样的几何集、用分形测度来代替Lebesgue测度就是“分形集上复分析研究”的切入点。这两个课题研究自相似集上自相似测度的Cauchy变换以及它们的应用，研究这样“复杂而又规则”的集合和测度在这个变换下反射出来的性质。关于边界性质：研究Holder连续延拓问题、变换及导函数当z逼近边界时的渐近增长问题、边界像曲线的维数估计问题；对Sierpinski垫的情形，研究“像区域边界的原像是一Cantor集”的猜想。关于Laurent系数性质，研究它的渐近表达式和它的精确增长率。关于几何性质，研究映照的星形半径和凸性半径以及像区域的Steiner对称性质。这两个课题将结合解析函数空间理论的研究、利用这种变换的复杂性，探讨为某些经典开问题提供反例的可能性；这两个课题也将联系小波理论、图像压缩来研究分形测度的Cauchy变换。

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