《随机最优控制与随机微分博弈的理论及应用》

金融市场的风险计量问题和防范控制问题是金融业界学界研究的热点问题和国家层面的战略问题。随机最优控制与随机微分博弈以及相关的微分方程理论是计量和防控金融风险的重要数学基础。在该领域中,一方面,存在着一些长期难以解决的理论难题,包括拟线性偏微分方程的概率解释、纳什均衡的筛选和检验、控制权阵不定的线性二次最优控制及非预期策略框架下的鞍点的闭环数学建模;另一方面,面对复杂多变的现代金融系统的风险计量和防控需求,递归最优控制、时滞系统的控制与博弈及随机离开时间影响下的金融经济学的理论完善和具体应用变得日益重要和迫切。

该项目以倒向随机微分方程为核心工具,针对随机最优控制与随机微分博弈的上述问题进行研究,取得了一系列具有突破性和创新性的科研成果,包括:

(1)突破了从半线性到拟线性的关键技术瓶颈,给出了一类二阶拟线性偏微分-代数方程系统的概率解释;对反射倒向随机微分方程解的性质进行了精细刻画,得到了代价泛函带有障碍约束的递归最优控制问题的动态规划原理和Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程理论,并将其应用于美式期权定价问题。美国普林斯顿大学讲席教授Carmona和The Annals of Applied Probability杂志现任主编Delarue认为第一项工作“在标准情形下对方程进行了研究”。第二项工作被法国特级教授Buckdahn、挪威科学与文学院院士Oksendal等人引用。

(2)发展了正向时滞方程和倒向超前方程之间的对偶技术,得到了随机时滞系统的连续和脉冲混合最优控制问题的最大值原理,并应用于带有生产周期时滞的生产消费经济问题;将最大值原理方法引入微分博弈领域,提供了筛选和检验纳什均衡的新途径。IEEE Fellow石碰认为第一项工作是在使用倒向随机微分方程作为伴随方程的研究方向上的代表性的工作之一。法国科学院院士Bensoussan认为第二项工作是在倒向随机微分方程框架下,研究非零和微分博弈的最大值原理的代表性文献之一。

(3)提出“等价泛函”新方法研究控制权阵不定的线性二次随机最优控制问题;将获得诺贝尔经济学奖的均值-方差投资组合选择理论推广到随机离开时间框架;结合非预期策略和经典的反馈机制,建立了基于混合策略律形式的鞍点的闭环数学模型,并首次得到了线性二次博弈问题对应的一类Riccati方程的全局可解性。美国Mathematical Reviews评述第一项工作引进的方法“看起来是更加灵活的”。第二项工作被美国Michigan大学讲席教授Young引用和评述。美国国家工程院院士Basar和IEEE Fellow Duncan等人将第三项工作推广到了风险敏感的零和微分博弈,在他们的文章中进行了两次评述和四次对比,充分肯定了这一工作。

该项目的8篇代表性论文发表于控制理论国际顶级期刊SIAM Journal on Control and Optimization(2008,2015),IEEE Transactions on Automatic Control(2015),Automatica(2012年两篇Regular paper),概率论、控制论及应用数学领域的国际著名学术期刊Stochastic Processes and their Applications(2014),ESAIM: Control,Optimization and Calculus of Variations(2013),Applied Mathematics and Optimization(2013)上。8篇代表性论文在Web of Science核心集被他人引用共88次,其中SCI论文引用77次。他引论文作者包括各国院士3人,IEEE/SIAM Fellow 5人,及控制论、概率论的顶级期刊编委十余人,部分他引论文来自控制论、概率论、微分方程领域的国际顶级期刊。

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