《时滞扩散模型的时空模式》

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课题来源与背景:由全球化加剧的生物入侵、疾病传播等社会问题,可通过非局部反应扩散模型描述其个体随机移动和疾病潜伏期,与此有关的许多数学结果也受到数学工作者关注。该项目组较早的把握了这一学科动态,在该问题相关的研究中取得了一些成绩,并得到了国内外同行的认可和国家自然科学基金等的资助。研究的目的和意义:通过对起源于实际问题的模型进行研究,在数学研究中发展一些新方法、新理论,并用这些结果对于一些自然现象进行解释,例如分析哪些因素可以影响疾病传播速度。主要创新点以及相关成果:项目组在以下三方面做出了创新性成果。(1)非局部扩散系统的行波解:非局部和时滞导致最大值原理、解的光滑性以及紧性方面的困难,所以研究很困难。课题组在行波解的研究中,以抽象的观点看待行波解,并由此发展了一套抽象行波解存在性理论。该结果可统一处理各种形式时滞扩散系统的行波解,其结果被审稿人称为“novel”。在应用于生态模型时发现了空间非局部性加速最小波速的新现象。在该基础上,还研究了行波解的稳定性等重要问题,部分结果已经在JDE,JDDE等发表。(2)非局部扩散系统的整体解:整体解(对所有时间有定义)有助于从数学的角度去理解瞬态动力学和全局吸引子的结构,同时对Cauchy问题的研究也具有重要作用。但是对于无穷维系统而言,解半流不能向后延拓,所以寻找这类解很困难。课题组通过建立相应初值问题的先验估计并借助行波解的研究基础,建立了一些重要模型整体解的存在性,并对其进行了定性研究。这些结果发表在SIAMJMA,JDE,JMPA,TranAMS等刊物上,引起了同行的关注,例如TranAMS的结果被审稿人评价为“veryniceresults”。(3)扩散系统的分支问题:数学模型中参数的灵敏程度对于理解事物十分重要,与此有关的一个问题就是微分方程的分支问题。由于时滞扩散系统是无穷维的,对于这类系统研究十分困难,所建立的结果也很少。课题组对一些经典的扩散系统的分支问题进行了研究,探讨了时滞、扩散等对于系统性态的影响,部分结果在IJBC,PhysicaD等期刊发表,受到了同行的关注。

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