《关于加倍测度和拟对称映射相关问题的研究》

项目属于基础数学研究中的分形几何与几何测度论领域,与拟共形映射理论密切相关,主要研究与加倍测度及拟对称映射相关的几何问题。这些问题通常来自分形集。项目研究需要用到实分析、复分析、拓扑学、测度论等方面的基础知识。项目的具体内容主要包括以下两个方面:

一、加倍测度的几何、胖集与瘦集。

度量空间上一个局部正有限的Borel正则测度称为加倍的,如果任意两个相邻的半径可比的球的测度可比。加倍测度相关的几何学主要研究如下一些问题:什么样的空间上存在加倍测度?什么样的空间上存在相互奇异的加倍测度?什么样的空间上仅有纯原子加倍测度?什么样的子集是胖集?什么样的子集是瘦集?这里称度量空间的一个子集是胖的,如果对于该空间上每个加倍测度该子集具有正测度。类似地,一个子集是瘦的,如果对于该空间上每个加倍测度该子集具有零测度。项目研究了上述问题,得到了一系列研究成果。例如,被提名人对于Bedford-McMullen自仿地毯上自仿测度的加倍性质的研究给出了完整结果;刻画了某些Cantor集在加倍测度意义下的胖瘦性并研究了均匀的乘积集在加倍测度意义下的胖瘦性;被提名人获得了Bedford-McMullen自仿地毯在加倍测度或者迷向加倍测度意义下的瘦性方面的创新性成果;等等。

二、拟对称映射的几何。

拟对称映射是欧氏空间到自身的拟共形映射到度量空间的推广。对于欧氏空间的区域之间的同胚而言,拟对称性是比拟共形性更强的条件。拟对称映射的几何主要研究如下一些问题:拟对称不变性与拟对称等价性,共形维数与拟对称极小集,分形集的拟对称刚性,等等。此外,拟对称映射与加倍测度密切相关,从不同角度明确它们之间的关系也是有意义的问题。项目围绕这些问题展开研究,取得了一系列研究成果。例如,被提名人给出了满维的Cantor是拟对称极小集的充分条件,并证明了所给条件中每个条件都不能去掉。此外,还研究了直线上什么样的正测集的正测性是拟对称不变的,并证明了某些Cantor集的正测性是拟对称不变的。在加倍测度与拟对称映射的关系方面,被提名人构造地证明了存在两个度量空间及它们之间的一个非拟对称的同胚映射,使得这个映射保持测度的加倍性质,等等。

项目的特点是:研究对象为加倍测度与拟对称映射,而具体的问题经常来自于分形集或分形测度。项目的研究是纯数学的,被提名人所取得的成果在国际上具有重要影响力。

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