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第一编 多元函数微分学1

第二十一章 基础知识1

第一节 多元函数概念1

21.1 二元函数概念1

21.2 二元函数的几何表示法5

21.3 n元函数与点函数8

第二节 多元函数的极限与连续9

21.4 极限概念9

21.5 函数的连续与间断12

21.6 连续函数的特性13

第二十二章 多元函数的导数与微分15

第一节 导数与微分的概念15

22.1 偏导数15

22.2 偏微分与全微分 可微性的充分条件18

22.3 全微分的几何解释24

22.4 全微分在近似计算上的应用26

22.5 方向导数27

22.6 梯度32

第二节 复合函数及隐函数的微分方法39

22.7 全导数公式39

22.8 复合函数微分法与全微分形式不变性41

22.9 由一个方程确定的隐函数42

22.10 由方程组确定的隐函数45

22.11 由定积分确定的函数49

22.12 高阶偏导数与微分次序问题55

第三节 高阶导数与微分55

22.13 高阶微分58

22.14 二元函数的台劳公式60

第二十三章 微分法应用62

第一节 矢量微分法及其在几何上的应用62

23.1 引言62

23.2 矢性函数 光滑曲线63

23.3 矢量的导数及微分 切向矢量64

23.4 单位矢量的导数66

23.5 空间曲线的切线及法平面方程 弧长68

23.6 曲面的切面及法线方程70

第二节 平面曲线73

23.7 隐示方程的曲线 寻常点与奇异点73

23.8 曲线族的包络77

23.9 一阶微分方程的图解法 方向场81

第三节 多元函数的极值84

23.10 极值的必要条件84

23.11 极值的充分条件87

23.12 条件极值的必要条件88

第二编 多元函数积分学96

第二十四章 重积分96

第一节 重积分的概念及性质96

24.1 引起二重积分概念的几何及物理问题96

24.2 二重积分的定义99

24.3 三重积分的定义101

24.4 重积分的简单性质102

24.5 在直角坐标系中计算法105

第二节 二重积分的计算法及应用105

24.6 在极坐标系中计算法113

24.7 光滑曲面的面积120

24.8 在力学上的应用124

第三节 三重积分的计算法及应用131

24.9 引言131

24.10 在直角坐标系中计算法133

24.11 在柱坐标系中计算法139

24.12 在球坐标系中计算法146

第四节 广义二重积分151

24.13 引言151

24.14 无界域的二重积分 布阿松积分151

24.15 无界函数的二重积分155

第二十五章 曲线积分及曲面积分158

第一节 曲线积分158

25.1 引言158

25.2 对弧长的曲线积分的定义及计算法159

25.3 对坐标的曲线积分的定义及计算法167

25.4 平面上曲线积分与二重积分的关系(格林公式)173

25.5 曲线积分与路线无关的条件179

25.6 全微分的准则及原函数求法183

25.7 在微分方程中的应用 积分因子187

25.8 在物理上的应用191

第二节 曲面积分196

25.9 引言196

25.10 曲面积分的物理意义及定义196

25.11 曲面积分的基本性质及计算法203

25.12 曲面积分与三重积分的关系(奥氏公式)206

25.13 曲面积分与曲面无关的条件208

25.14 曲面积分与空间曲线积分的关系(斯氏公式)210

第三节 场论的基础知识213

25.15 标量场与矢量场213

25.16 矢量场的通量与散度 管状场213

25.17 流体的连续性方程223

25.18 矢量场的环流与旋度224

25.19 两个重要的定理 矢量场的分类232

25.20 在曲线坐标系中的表达式234

第三编 由级数确定的函数239

第二十六章 数项级数与函数项级数239

第一节 数项级数239

26.1 级数的收敛与发散239

26.2 数列的极限242

26.3 级数的基本性质245

26.4 收敛的必要条件 调和级数246

26.5 数项级数的分类247

26.6 同号级数判敛法248

26.7 交错级数判敛法254

26.8 异号级数的绝对收敛与条件收敛 乘法255

第二节 函数项级数258

26.9 引言258

26.10 收敛点与收敛域259

26.11 均匀收敛的概念262

26.12 均匀收敛的M判定法266

26.13 匀敛级数的可积性与可微性268

A26.1 引言 歌西判敛法271

附录 由无穷积分确定的函数271

第一节 广义积分判敛法275

A26.2 无穷积分判敛法275

A26.3 瑕积分与无穷积分的关系281

A26.4 瑕积分判敛法282

第二节 无穷积分的均匀收敛285

A26.5 均匀收敛及其判定法285

A26.6 均匀收敛的应用287

第三节 Γ函数与B函数293

A26.7 Γ函数293

A26.8 B函数296

A26.9 两种函数的关系297

第二十七章 幂级数与福里哀级数298

第一节 幂级数298

27.1 幂级数的收敛域及其求法 收敛半径298

27.2 幂级数的特性与运算301

27.3 函数展为幂级数的台劳方法304

27.4 函数展开的应用306

27.5 函数展开的其它方法 二项式级数313

27.6 微分方程的级数解及其存在问题318

27.7 贝塞尔函数(圆柱函数)324

第二节 福里哀级数328

27.8 三角级数328

27.9 三角函数组的正交性330

27.10 欧拉-福里哀公式与福里哀级数333

27.11 狄里赫莱定理336

27.12 偶函数及奇函数的福里哀级数339

27.13 以？为周期的函数342

27.14 函数在半区间(0，？)上展为福里哀级数344

27.15 福里哀级数的指数形式348

27.16 经验函数的谐波分析法 选数板351

附录 积分表358

(一)有理代数函数358

(二)根式代数函数361

(三)超越函数367