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目录1

前言1

第一章 引论1

一、证明的意义和结构1

1．中学的数学问题大量的是哪几类？本书讨论什么？1

2．什么叫做证明？1

3．什么是逻辑学？谁是逻辑之父？2

4．形式逻辑的四条思维规律的内容和意义是什么？它们之间的关系如何？3

5．什么是三段论法？它的依据是什么？5

6．有不加证明的真命题吗？7

7．证明的结构是什么？7

8．哪些命题可以作为论据？7

9．证明和推理有何联系与区别？7

二、命题的结构、形式和条件8

10．命题的结构和标准形状是什么？8

11．什么是联合式命题、分断式命题？9

13．怎样认识改隐式为显式？10

12．什么叫定理、系、引理？10

14．命题有哪几种形式？它们的相互关系是什么？11

15．为什么原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别是等价命题？12

16．一个命题只有一个逆命题吗？13

17．什么情况下，原命题正确，逆命题就一定是正确的？15

18．什么是充分条件、必要条件、充要条件？17

三、论证的分类19

19．数学论证方法有哪些种类？19

21．论据应符合哪些要求？21

四、证明的规则21

20．论题应注意哪些问题？21

22．论证应遵守哪些规则？22

23．错在哪里？23

第二章　常用论证方法30

一　综合法30

24．什么是综合法？30

25．应用综合法的思考过程是怎样的？30

26．综合法的叙述形式是什么？32

27．怎样用综合法证题？35

28．综合法和综合有什么联系与区别？39

二　分析法40

29．什么是分析法？它和综合法有什么区别？40

30．应用分析法的思考过程是怎样的？41

31．分析法的叙述形式是什么？44

32．分析法和分析有什么区别与联系？45

33．在证题中怎样发挥分析法与综合法各自的优势？45

34．什么是比较法？试举例说明48

35．分析法、综合法、比较法可以联合应用吗？49

三　反证法51

36．什么是反证法？它的根据是什么？51

37．怎样否定结论？51

38．怎样把反论题归引到谬误？53

39．怎样应用穷举法？54

40．反证法有何特点？在什么情况下使用它更好些？56

43．怎样用同一法证明几何命题？59

42．什么是同一法？它的根据是什么？59

四 同一法59

41．反证法与分析法有何区别与联系？………………（5？）59

44．怎样用同一法证明恒等式？61

五　穷举归纳法63

45．什么是穷举归纳法？在什么情况下使用它？63

46．应用穷举归纳法时，应注意什么问题？64

六　数学归纳法67

47．什么是数学归纳法？它的依据是什么？67

48．数学归纳法的两步有什么关系？少一步行不行？69

49．第二步中k是任意自然数，k+1也是任意自然数，它俩有什么区别？72

50．是否第一步必须是n=1呢？73

51．是否第一步只需要验证n=1时成立就可以了？73

52．第二步的实质是什么？应注意什么？74

53．第二步中证n=k+1真，不用n=k真行不行？75

54．什么是第二归纳法？它与数学归纳法有什么关系？76

55．哪种与自然数有关的命题才用数学归纳法？77

56．谁最早使用数学归纳法？80

57．什么是递归法？它与数学归纳法有什么关系？81

七　递归法81

58．什么问题宜于用递归法？谁最早使用递归法？82

59．递归法的特点是什么？怎样使用递归法？85

八　小结87

60．常用证法的相互关系如何？怎样联合运用？87

第三章　形数结合92

一　解析法92

61．形数结合对于论证数学问题有什么重要作用？92

62．什么是解析法？它的步骤是什么？93

63．怎样选择适当的直角坐标系及适当的坐标？94

64．几何问题都能用解析法吗？怎样发挥它的优势？96

65．在反证法中能否用解析法？98

66．何时选用极坐标系为宜？99

67．什么是斜坐标系？在此坐标系下，解析几何的一些基本公式有何变化？101

68．只用直尺不用圆规能平分一条线段吗？103

二　几何、三角题的代数证法105

69．几何问题怎样用代数证法？105

70．三角问题怎样用代数证法？109

71．几何问题何以能够三角化？112

三　几何、代数题的三角证法112

72．几何问题的三角证法有何优点？115

73．代数问题怎样进行三角代换？120

74．怎样用三角等式证代数等式？122

四　代数、三角题的几何证法123

75．几何证法的优点何在？123

76．一些重要不等式的几何意义是什么？124

77．怎样用图形构造法证明代数问题？125

78．怎样用图形构造法证明三角问题？126

79．怎样挖掘问题的几何性质，形数结合地解决问题？129

80．怎样形数结合地研究线性函数的极值问题？132

81．怎样充分运用图形的几何性质建立动点的轨迹方程？134

五　几何、三角题的复数证法135

82．为什么可以用复数证一些几何与三角问题？135

83．怎样用复数证明一些平面几何问题？137

84．怎样用复数表示解析几何公式？142

86．怎样用复数求动点的轨迹方程？143

85．怎样用复数证明转轴公式？143

87．怎样用复数证明一些三角公式？144

88．怎样巧用复数开方求一些特殊的三角函数式的值？148

89．怎样用复数证明一些组合数公式？150

第四章　提高证题能力152

一　寻求证题途径152

90．怎样努力提高证题能力？152

91．证题的一般步骤和关键是什么？152

92．怎样运用综合分析法？154

93．怎样运用类比联想法？157

94．怎样运用观察试验法？159

95．怎样运用矛盾转化法？163

96．怎样运用归纳猜想法？168

二　证题后的回顾172

97．证题后为什么要回顾？回顾什么？172

98．什么是基本量方法？怎样应用这种方法解题？174

100．怎样寻求几何题的多种解法？179

99．一题多解有什么好处？179

三　一题多解179

101．怎样寻求三角题的多种解法？183

102．怎样寻求代数题的多种解法？186

四 多题一解191

103．什么是多题一解？它有什么好处？191

104．怎样根据题中应用的主要知识来归类？192

105．怎样根据证题的基本方法来归类？193

五　注意问题的推广195

106．注意问题的推广有什么好处？195

107．怎样将一些数学问题进行推广？196

六　综合题举例203

108．什么是综合题？其基本解题思路是什么？203

109．怎样证明费马小定理？206

110．怎样证明一道有关充要条件的问题？207

111．圆内接正n边形的周长与内接正n+1边形的周长哪个大？211

112．nn+1与（n+1）n孰大孰小？214